Rezolvați 8x^2-24x-24=0

$$8 { x }^{ 2 } -24x-24=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{21} + 3}{2} \approx 3,791287847$$

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}\approx -0,791287847$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -24 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați -24 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 8\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-32\left(-24\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -24.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+768}}{2\times 8}$$

Adunați 576 cu 768.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1344}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1344.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Opusul lui -24 este 24.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} atunci când ± este plus. Adunați 24 cu 8\sqrt{21}.

$$x=\frac{8\sqrt{21}+24}{16}$$

Împărțiți 24+8\sqrt{21} la 16.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{24±8\sqrt{21}}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 8\sqrt{21} din 24.

$$x=\frac{24-8\sqrt{21}}{16}$$

Împărțiți 24-8\sqrt{21} la 16.

$$x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}-24x-24=0$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}-24x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}-24x=-\left(-24\right)$$

Scădeți -24 din 0.

$$8x^{2}-24x=24$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-24x}{8}=\frac{24}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{8}\right)x=\frac{24}{8}$$

Împărțiți -24 la 8.

$$x^{2}-3x=\frac{24}{8}$$

Împărțiți 24 la 8.

$$x^{2}-3x=3$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=3+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=3+\frac{9}{4}$$

Adunați 3 cu \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{21}{4}$$

Factor x^{2}-3x+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{21}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{21}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{21}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{21}}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{21}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{21}}{2}$$