Rezolvați 8x^2-14x-15

$$8 { x }^{ 2 } -14x-15$$

Descompunere în factori

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-14 ab=8\left(-15\right)=-120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -120.

$$1,-120 2,-60 3,-40 4,-30 5,-24 6,-20 8,-15 10,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-120=-119 2-60=-58 3-40=-37 4-30=-26 5-24=-19 6-20=-14 8-15=-7 10-12=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -14.

$$a=-20 b=6$$

Rescrieți 8x^{2}-14x-15 ca \left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(8x^{2}-20x\right)+\left(6x-15\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$8x^{2}-14x-15=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 8\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-32\left(-15\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -15.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+480}}{2\times 8}$$

Adunați 196 cu 480.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±26}{2\times 8}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±26}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{14±26}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±26}{16} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 26.

$$x=\frac{40}{16}$$

Reduceți fracția \frac{40}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±26}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din 14.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{2} și x_{2} cu -\frac{3}{4}.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{3}{4}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$8x^{2}-14x-15=8\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Scădeți \frac{5}{2} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\left(x+\frac{3}{4}\right)$$

Adunați \frac{3}{4} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{4x+3}{4}$$

Înmulțiți \frac{2x-5}{2} cu \frac{4x+3}{4} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$8x^{2}-14x-15=8\times \frac{\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)}{8}$$

Simplificați cu 8, cel mai mare factor comun din 8 și 8.

$$8x^{2}-14x-15=\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$

Evaluați

$$\left(2x-5\right)\left(4x+3\right)$$