Rezolvați 77r^2+45r-18

$$77 r ^ { 2 } + 45 r - 18$$

Descompunere în factori

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 77r^{2}+ar+br-18. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=45 ab=77\left(-18\right)=-1386$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -1386.

$$-1,1386 -2,693 -3,462 -6,231 -7,198 -9,154 -11,126 -14,99 -18,77 -21,66 -22,63 -33,42$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+1386=1385 -2+693=691 -3+462=459 -6+231=225 -7+198=191 -9+154=145 -11+126=115 -14+99=85 -18+77=59 -21+66=45 -22+63=41 -33+42=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 45.

$$a=-21 b=66$$

Rescrieți 77r^{2}+45r-18 ca \left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right).

$$\left(77r^{2}-21r\right)+\left(66r-18\right)$$

Factor 7r în primul și 6 în al doilea grup.

$$7r\left(11r-3\right)+6\left(11r-3\right)$$

Scoateți termenul comun 11r-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$77r^{2}+45r-18=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$r=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Ridicați 45 la pătrat.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-4\times 77\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Înmulțiți -4 cu 77.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025-308\left(-18\right)}}{2\times 77}$$

Înmulțiți -308 cu -18.

$$r=\frac{-45±\sqrt{2025+5544}}{2\times 77}$$

Adunați 2025 cu 5544.

$$r=\frac{-45±\sqrt{7569}}{2\times 77}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7569.

$$r=\frac{-45±87}{2\times 77}$$

Înmulțiți 2 cu 77.

$$r=\frac{-45±87}{154}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-45±87}{154} atunci când ± este plus. Adunați -45 cu 87.

$$r=\frac{42}{154}$$

Reduceți fracția \frac{42}{154} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 14.

$$r=\frac{3}{11}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-45±87}{154} atunci când ± este minus. Scădeți 87 din -45.

$$r=-\frac{132}{154}$$

Reduceți fracția \frac{-132}{154} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 22.

$$r=-\frac{6}{7}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{3}{11} și x_{2} cu -\frac{6}{7}.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r-\left(-\frac{6}{7}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$77r^{2}+45r-18=77\left(r-\frac{3}{11}\right)\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Scădeți \frac{3}{11} din r găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\left(r+\frac{6}{7}\right)$$

Adunați \frac{6}{7} cu r găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{11r-3}{11}\times \frac{7r+6}{7}$$

Înmulțiți \frac{11r-3}{11} cu \frac{7r+6}{7} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{11\times 7}$$

Înmulțiți 11 cu 7.

$$77r^{2}+45r-18=77\times \frac{\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)}{77}$$

Simplificați cu 77, cel mai mare factor comun din 77 și 77.

$$77r^{2}+45r-18=\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$

Evaluați

$$\left(11r-3\right)\left(7r+6\right)$$