Rezolvați 75x^2-100x+25

$$75 x ^ { 2 } - 100 x + 25$$

Descompunere în factori

$$25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 25.

$$25\left(3x^{2}-4x+1\right)$$

Să luăm 3x^{2}-4x+1. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=3\times 1=3$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-3 b=-1$$

Rescrieți 3x^{2}-4x+1 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-x+1\right)$$

Factor 3x în primul și -1 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$75x^{2}-100x+25=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{\left(-100\right)^{2}-4\times 75\times 25}}{2\times 75}$$

Ridicați -100 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-4\times 75\times 25}}{2\times 75}$$

Înmulțiți -4 cu 75.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-300\times 25}}{2\times 75}$$

Înmulțiți -300 cu 25.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{10000-7500}}{2\times 75}$$

Adunați 10000 cu -7500.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±\sqrt{2500}}{2\times 75}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2500.

$$x=\frac{-\left(-100\right)±50}{2\times 75}$$

Opusul lui -100 este 100.

$$x=\frac{100±50}{2\times 75}$$

Înmulțiți 2 cu 75.

$$x=\frac{100±50}{150}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{100±50}{150} atunci când ± este plus. Adunați 100 cu 50.

$$x=\frac{150}{150}$$

Împărțiți 150 la 150.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{100±50}{150} atunci când ± este minus. Scădeți 50 din 100.

$$x=\frac{50}{150}$$

Reduceți fracția \frac{50}{150} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 50.

$$x=\frac{1}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 1 și x_{2} cu \frac{1}{3}.

$$75x^{2}-100x+25=75\left(x-1\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Scădeți \frac{1}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$75x^{2}-100x+25=75\left(x-1\right)\times \frac{3x-1}{3}$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 75 și 3.

$$75x^{2}-100x+25=25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$

Evaluați

$$25\left(x-1\right)\left(3x-1\right)$$