Rezolvați 75x^2+35x-10=0

$$75 x ^ { 2 } + 35 x - 10 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 5.

$$15x^{2}+7x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 15x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=15\left(-2\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-3 b=10$$

Rescrieți 15x^{2}+7x-2 ca \left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right).

$$\left(15x^{2}-3x\right)+\left(10x-2\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(5x-1\right)+2\left(5x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 5x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(5x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 5x-1=0 și 3x+2=0.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 75, b cu 35 și c cu -10 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-35±\sqrt{35^{2}-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Ridicați 35 la pătrat.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-4\times 75\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Înmulțiți -4 cu 75.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225-300\left(-10\right)}}{2\times 75}$$

Înmulțiți -300 cu -10.

$$x=\frac{-35±\sqrt{1225+3000}}{2\times 75}$$

Adunați 1225 cu 3000.

$$x=\frac{-35±\sqrt{4225}}{2\times 75}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4225.

$$x=\frac{-35±65}{2\times 75}$$

Înmulțiți 2 cu 75.

$$x=\frac{-35±65}{150}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-35±65}{150} atunci când ± este plus. Adunați -35 cu 65.

$$x=\frac{30}{150}$$

Reduceți fracția \frac{30}{150} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 30.

$$x=\frac{1}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-35±65}{150} atunci când ± este minus. Scădeți 65 din -35.

$$x=-\frac{100}{150}$$

Reduceți fracția \frac{-100}{150} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 50.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$75x^{2}+35x-10=0$$

Adunați 10 la ambele părți ale ecuației.

$$75x^{2}+35x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

Scăderea -10 din el însuși are ca rezultat 0.

$$75x^{2}+35x=-\left(-10\right)$$

Scădeți -10 din 0.

$$75x^{2}+35x=10$$

Se împart ambele părți la 75.

$$\frac{75x^{2}+35x}{75}=\frac{10}{75}$$

Împărțirea la 75 anulează înmulțirea cu 75.

$$x^{2}+\frac{35}{75}x=\frac{10}{75}$$

Reduceți fracția \frac{35}{75} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{10}{75}$$

Reduceți fracția \frac{10}{75} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x=\frac{2}{15}$$

Împărțiți \frac{7}{15}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{30}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{30} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{2}{15}+\left(\frac{7}{30}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{30} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{2}{15}+\frac{49}{900}$$

Adunați \frac{2}{15} cu \frac{49}{900} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}=\frac{169}{900}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{15}x+\frac{49}{900}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}=\frac{169}{900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{900}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{30}=\frac{13}{30} x+\frac{7}{30}=-\frac{13}{30}$$

Scădeți \frac{7}{30} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{2}{3}$$