Rezolvați 7z^2+8z+3=3z^2

$$7 z ^ { 2 } + 8 z + 3 = 3 z ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$z=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 3z^{2} din ambele părți.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Combinați 7z^{2} cu -3z^{2} pentru a obține 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4z^{2}+az+bz+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=8 ab=4\times 3=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 8.

$$a=2 b=6$$

Rescrieți 4z^{2}+8z+3 ca \left(4z^{2}+2z\right)+\left(6z+3\right).

$$\left(4z^{2}+2z\right)+\left(6z+3\right)$$

Factor 2z în primul și 3 în al doilea grup.

$$2z\left(2z+1\right)+3\left(2z+1\right)$$

Scoateți termenul comun 2z+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2z+1\right)\left(2z+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2z+1=0 și 2z+3=0.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 3z^{2} din ambele părți.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Combinați 7z^{2} cu -3z^{2} pentru a obține 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 8 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Ridicați 8 la pătrat.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\times 3}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-16\times 3}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu 3.

$$z=\frac{-8±\sqrt{64-48}}{2\times 4}$$

Adunați 64 cu -48.

$$z=\frac{-8±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$z=\frac{-8±4}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$z=\frac{-8±4}{8}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-8±4}{8} atunci când ± este plus. Adunați -8 cu 4.

$$z=-\frac{4}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$z=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{-8±4}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din -8.

$$z=-\frac{12}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$z=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 3z^{2} din ambele părți.

$$7z^{2}+8z+3-3z^{2}=0$$

Combinați 7z^{2} cu -3z^{2} pentru a obține 4z^{2}.

$$4z^{2}+8z+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$4z^{2}+8z=-3$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4z^{2}+8z}{4}=-\frac{3}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$z^{2}+\frac{8}{4}z=-\frac{3}{4}$$

Împărțiți 8 la 4.

$$z^{2}+2z=-\frac{3}{4}$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}+2z+1^{2}=-\frac{3}{4}+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$z^{2}+2z+1=-\frac{3}{4}+1$$

Adunați -\frac{3}{4} cu 1.

$$z^{2}+2z+1=\frac{1}{4}$$

Factor z^{2}+2z+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+1\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplificați.

$$z+1=\frac{1}{2} z+1=-\frac{1}{2}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$z=-\frac{1}{2} z=-\frac{3}{2}$$