Rezolvați 7x-15y-2=0text{ztal}x+2y=3

$$7 x - 15 y - 2 = 0 \text { ztal } x + 2 y = 3$$

Rezolvați pentru x, y

$$x = \frac{49}{29} = 1\frac{20}{29} \approx 1,689655172$$

$$y=\frac{19}{29}\approx 0,655172414$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$7x-15y-2=0$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$7x-15y=2$$

Adunați 15y la ambele părți ale ecuației.

$$7x=15y+2$$

Se împart ambele părți la 7.

$$x=\frac{1}{7}\left(15y+2\right)$$

Înmulțiți \frac{1}{7} cu 15y+2.

$$x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}$$

Înlocuiți x cu \frac{15y+2}{7} în cealaltă ecuație, x+2y=3.

$$\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}+2y=3$$

Adunați \frac{15y}{7} cu 2y.

$$\frac{29}{7}y+\frac{2}{7}=3$$

Scădeți \frac{2}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$\frac{29}{7}y=\frac{19}{7}$$

Împărțiți ambele părți ale ecuației la \frac{29}{7}, ceea ce este același lucru cu înmulțirea ambelor părți cu reciproca fracției.

$$y=\frac{19}{29}$$

Înlocuiți y cu \frac{19}{29} în x=\frac{15}{7}y+\frac{2}{7}. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=\frac{15}{7}\times \frac{19}{29}+\frac{2}{7}$$

Înmulțiți \frac{15}{7} cu \frac{19}{29} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{285}{203}+\frac{2}{7}$$

Adunați \frac{2}{7} cu \frac{285}{203} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-15\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7\times 2-\left(-15\right)}&-\frac{-15}{7\times 2-\left(-15\right)}\\-\frac{1}{7\times 2-\left(-15\right)}&\frac{7}{7\times 2-\left(-15\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}&\frac{15}{29}\\-\frac{1}{29}&\frac{7}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{29}\times 2+\frac{15}{29}\times 3\\-\frac{1}{29}\times 2+\frac{7}{29}\times 3\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{49}{29}\\\frac{19}{29}\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$7x-15y-2=0,x+2y=3$$

Pentru a egala 7x și x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 1 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 7.

$$7x-15y-2=0,7x+7\times 2y=7\times 3$$

Simplificați.

$$7x-15y-2=0,7x+14y=21$$

Scădeți pe 7x+14y=21 din 7x-15y-2=0 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$7x-7x-15y-14y-2=-21$$

Adunați 7x cu -7x. Termenii 7x și -7x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-15y-14y-2=-21$$

Adunați -15y cu -14y.

$$-29y-2=-21$$

Adunați 2 la ambele părți ale ecuației.

$$-29y=-19$$

Se împart ambele părți la -29.

$$y=\frac{19}{29}$$

Înlocuiți y cu \frac{19}{29} în x+2y=3. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x+2\times \frac{19}{29}=3$$

Înmulțiți 2 cu \frac{19}{29}.

$$x+\frac{38}{29}=3$$

Scădeți \frac{38}{29} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{49}{29}$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=\frac{49}{29},y=\frac{19}{29}$$