Rezolvați 7x^2-14x+1/4=0

$$7 x ^ { 2 } - 14 x + \frac { 1 } { 4 } = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 1,981980506$$

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1\approx 0,018019494$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -14 și c cu \frac{1}{4} în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 7\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-28\times \frac{1}{4}}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu \frac{1}{4}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-7}}{2\times 7}$$

Adunați 196 cu -7.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{189}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 189.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 3\sqrt{21}.

$$x=\frac{3\sqrt{21}+14}{14}$$

Împărțiți 14+3\sqrt{21} la 14.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±3\sqrt{21}}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{21} din 14.

$$x=\frac{14-3\sqrt{21}}{14}$$

Împărțiți 14-3\sqrt{21} la 14.

$$x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}=0$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$7x^{2}-14x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{4}$$

Scăderea \frac{1}{4} din el însuși are ca rezultat 0.

$$7x^{2}-14x=-\frac{1}{4}$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}-14x}{7}=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{7}\right)x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Împărțiți -14 la 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{\frac{1}{4}}{7}$$

Împărțiți -\frac{1}{4} la 7.

$$x^{2}-2x=-\frac{1}{28}$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=-\frac{1}{28}+1$$

Adunați -\frac{1}{28} cu 1.

$$x^{2}-2x+1=\frac{27}{28}$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=\frac{27}{28}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27}{28}}$$

Simplificați.

$$x-1=\frac{3\sqrt{21}}{14} x-1=-\frac{3\sqrt{21}}{14}$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{21}}{14}+1 x=-\frac{3\sqrt{21}}{14}+1$$