Rezolvați 7x^2+5x+5=0

$$7 x ^ { 2 } + 5 x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}\approx -0,357142857+0,765986092i$$

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}\approx -0,357142857-0,765986092i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu 5 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-28\times 5}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu 5.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-140}}{2\times 7}$$

Adunați 25 cu -140.

$$x=\frac{-5±\sqrt{-115}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -115.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu i\sqrt{115}.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±\sqrt{115}i}{14} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{115} din -5.

$$x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+5x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$7x^{2}+5x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7x^{2}+5x=-5$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}+5x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Împărțiți \frac{5}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{14}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{14}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{5}{7}+\frac{25}{196}$$

Adunați -\frac{5}{7} cu \frac{25}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}=-\frac{115}{196}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{7}x+\frac{25}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}=-\frac{115}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{14}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{115}{196}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{14}=\frac{\sqrt{115}i}{14} x+\frac{5}{14}=-\frac{\sqrt{115}i}{14}$$

Scădeți \frac{5}{14} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-5+\sqrt{115}i}{14} x=\frac{-\sqrt{115}i-5}{14}$$