Rezolvați 7x^2+4x+1=0

$$7 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}\approx -0,285714286+0,24743583i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}\approx -0,285714286-0,24743583i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu 4 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 7}}{2\times 7}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 7}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-28}}{2\times 7}$$

Adunați 16 cu -28.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-12}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -12.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 2i\sqrt{3}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{3}i}{14}$$

Împărțiți -4+2i\sqrt{3} la 14.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{3}i}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{3} din -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{3}i-4}{14}$$

Împărțiți -4-2i\sqrt{3} la 14.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+4x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$7x^{2}+4x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7x^{2}+4x=-1$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}+4x}{7}=-\frac{1}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x=-\frac{1}{7}$$

Împărțiți \frac{4}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{7}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{1}{7}+\frac{4}{49}$$

Adunați -\frac{1}{7} cu \frac{4}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}=-\frac{3}{49}$$

Factorul x^{2}+\frac{4}{7}x+\frac{4}{49}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}=-\frac{3}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{49}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{7}=\frac{\sqrt{3}i}{7} x+\frac{2}{7}=-\frac{\sqrt{3}i}{7}$$

Scădeți \frac{2}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-2+\sqrt{3}i}{7} x=\frac{-\sqrt{3}i-2}{7}$$