Rezolvați 7x^2+2x=9

$$7 x ^ { 2 } + 2 x = 9$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{9}{7} = -1\frac{2}{7} \approx -1,285714286$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 9 din ambele părți.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 7x^{2}+ax+bx-9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=7\left(-9\right)=-63$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -63.

$$-1,63 -3,21 -7,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+63=62 -3+21=18 -7+9=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-7 b=9$$

Rescrieți 7x^{2}+2x-9 ca \left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right).

$$\left(7x^{2}-7x\right)+\left(9x-9\right)$$

Factor 7x în primul și 9 în al doilea grup.

$$7x\left(x-1\right)+9\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(7x+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 7x+9=0.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}+2x=9$$

Scădeți 9 din ambele părți ale ecuației.

$$7x^{2}+2x-9=9-9$$

Scăderea 9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7x^{2}+2x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu 2 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 7\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-28\left(-9\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -9.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+252}}{2\times 7}$$

Adunați 4 cu 252.

$$x=\frac{-2±\sqrt{256}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 256.

$$x=\frac{-2±16}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{-2±16}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±16}{14} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 16.

$$x=\frac{14}{14}$$

Împărțiți 14 la 14.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±16}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 16 din -2.

$$x=-\frac{18}{14}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{9}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}+2x=9$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}+2x}{7}=\frac{9}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x=\frac{9}{7}$$

Împărțiți \frac{2}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{7}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{9}{7}+\left(\frac{1}{7}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{9}{7}+\frac{1}{49}$$

Adunați \frac{9}{7} cu \frac{1}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}=\frac{64}{49}$$

Factor x^{2}+\frac{2}{7}x+\frac{1}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}=\frac{64}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{49}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{7}=\frac{8}{7} x+\frac{1}{7}=-\frac{8}{7}$$

Scădeți \frac{1}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{9}{7}$$