Rezolvați 7n^2=-8+15n

$$7 n ^ { 2 } = - 8 + 15 n$$

Rezolvați pentru n

$$n=1$$

$$n = \frac{8}{7} = 1\frac{1}{7} \approx 1,142857143$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți -8 din ambele părți.

$$7n^{2}-\left(-8\right)=15n$$

Opusul lui -8 este 8.

$$7n^{2}+8=15n$$

Scădeți 15n din ambele părți.

$$7n^{2}+8-15n=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$7n^{2}-15n+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 7n^{2}+an+bn+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-15 ab=7\times 8=56$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 56.

$$-1,-56 -2,-28 -4,-14 -7,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-56=-57 -2-28=-30 -4-14=-18 -7-8=-15$$

Soluția este perechea care dă suma de -15.

$$a=-8 b=-7$$

Rescrieți 7n^{2}-15n+8 ca \left(7n^{2}-8n\right)+\left(-7n+8\right).

$$\left(7n^{2}-8n\right)+\left(-7n+8\right)$$

Factor n în primul și -1 în al doilea grup.

$$n\left(7n-8\right)-\left(7n-8\right)$$

Scoateți termenul comun 7n-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7n-8\right)\left(n-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 7n-8=0 și n-1=0.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți -8 din ambele părți.

$$7n^{2}-\left(-8\right)=15n$$

Opusul lui -8 este 8.

$$7n^{2}+8=15n$$

Scădeți 15n din ambele părți.

$$7n^{2}+8-15n=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7n^{2}-15n+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -15 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-28\times 8}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu 8.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-224}}{2\times 7}$$

Adunați 225 cu -224.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{1}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$n=\frac{-\left(-15\right)±1}{2\times 7}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$n=\frac{15±1}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$n=\frac{15±1}{14}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{15±1}{14} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 1.

$$n=\frac{16}{14}$$

Reduceți fracția \frac{16}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=\frac{8}{7}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{15±1}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din 15.

$$n=\frac{14}{14}$$

Împărțiți 14 la 14.

$$n=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 15n din ambele părți.

$$7n^{2}-15n=-8$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7n^{2}-15n}{7}=-\frac{8}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n=-\frac{8}{7}$$

Împărțiți -\frac{15}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{14}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\left(-\frac{15}{14}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{15}{14}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}=-\frac{8}{7}+\frac{225}{196}$$

Adunați -\frac{8}{7} cu \frac{225}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}=\frac{1}{196}$$

Factor n^{2}-\frac{15}{7}n+\frac{225}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{15}{14}\right)^{2}=\frac{1}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{15}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{196}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{15}{14}=\frac{1}{14} n-\frac{15}{14}=-\frac{1}{14}$$

Adunați \frac{15}{14} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{8}{7} n=1$$