Rezolvați 7k^2+18k-27=0

$$7 k ^ { 2 } + 18 k - 27 = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k = \frac{3 \sqrt{30} - 9}{7} \approx 1,061668104$$

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}\approx -3,633096675$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu 18 și c cu -27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați 18 la pătrat.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 7\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324-28\left(-27\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -27.

$$k=\frac{-18±\sqrt{324+756}}{2\times 7}$$

Adunați 324 cu 756.

$$k=\frac{-18±\sqrt{1080}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1080.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} atunci când ± este plus. Adunați -18 cu 6\sqrt{30}.

$$k=\frac{6\sqrt{30}-18}{14}$$

Împărțiți -18+6\sqrt{30} la 14.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-18±6\sqrt{30}}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 6\sqrt{30} din -18.

$$k=\frac{-6\sqrt{30}-18}{14}$$

Împărțiți -18-6\sqrt{30} la 14.

$$k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7k^{2}+18k-27=0$$

Adunați 27 la ambele părți ale ecuației.

$$7k^{2}+18k-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Scăderea -27 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7k^{2}+18k=-\left(-27\right)$$

Scădeți -27 din 0.

$$7k^{2}+18k=27$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7k^{2}+18k}{7}=\frac{27}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k=\frac{27}{7}$$

Împărțiți \frac{18}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{9}{7}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{9}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{27}{7}+\left(\frac{9}{7}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{9}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{27}{7}+\frac{81}{49}$$

Adunați \frac{27}{7} cu \frac{81}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}=\frac{270}{49}$$

Factor k^{2}+\frac{18}{7}k+\frac{81}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}=\frac{270}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{270}{49}}$$

Simplificați.

$$k+\frac{9}{7}=\frac{3\sqrt{30}}{7} k+\frac{9}{7}=-\frac{3\sqrt{30}}{7}$$

Scădeți \frac{9}{7} din ambele părți ale ecuației.

$$k=\frac{3\sqrt{30}-9}{7} k=\frac{-3\sqrt{30}-9}{7}$$