Rezolvați 7(x-3)-5(x^2-1)=x^2-5(x+2)

$$7 ( x - 3 ) - 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) = x ^ { 2 } - 5 ( x + 2 )$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Adunați -21 și 5 pentru a obține -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Combinați -5x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Combinați 7x cu 5x pentru a obține 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Adăugați 10 la ambele părți.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Adunați -16 și 10 pentru a obține -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Se împart ambele părți la 6.

$$2x-1-x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-x^{2}+2x-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-\left(-1\right)=1$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=1 b=1$$

Rescrieți -x^{2}+2x-1 ca \left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right).

$$\left(-x^{2}+x\right)+\left(x-1\right)$$

Scoateți factorul comun -x din -x^{2}+x.

$$-x\left(x-1\right)+x-1$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(-x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și -x+1=0.

$$x=1 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Adunați -21 și 5 pentru a obține -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Combinați -5x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Combinați 7x cu 5x pentru a obține 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Adăugați 10 la ambele părți.

$$12x-16-6x^{2}+10=0$$

Adunați -16 și 10 pentru a obține -6.

$$12x-6-6x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-6x^{2}+12x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -6, b cu 12 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-6\right)\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+24\left(-6\right)}}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 24 cu -6.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-144}}{2\left(-6\right)}$$

Adunați 144 cu -144.

$$x=\frac{-12±\sqrt{0}}{2\left(-6\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{12}{2\left(-6\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -6.

$$x=-\frac{12}{-12}$$

Împărțiți -12 la -12.

$$x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 7 cu x-3.

$$7x-21-5\left(x^{2}-1\right)=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x^{2}-1.

$$7x-21-5x^{2}+5=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Adunați -21 și 5 pentru a obține -16.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5\left(x+2\right)$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -5 cu x+2.

$$7x-16-5x^{2}=x^{2}-5x-10$$

Scădeți x^{2} din ambele părți.

$$7x-16-5x^{2}-x^{2}=-5x-10$$

Combinați -5x^{2} cu -x^{2} pentru a obține -6x^{2}.

$$7x-16-6x^{2}=-5x-10$$

Adăugați 5x la ambele părți.

$$7x-16-6x^{2}+5x=-10$$

Combinați 7x cu 5x pentru a obține 12x.

$$12x-16-6x^{2}=-10$$

Adăugați 16 la ambele părți.

$$12x-6x^{2}=-10+16$$

Adunați -10 și 16 pentru a obține 6.

$$12x-6x^{2}=6$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+12x=6$$

Se împart ambele părți la -6.

$$\frac{-6x^{2}+12x}{-6}=\frac{6}{-6}$$

Împărțirea la -6 anulează înmulțirea cu -6.

$$x^{2}+\frac{12}{-6}x=\frac{6}{-6}$$

Împărțiți 12 la -6.

$$x^{2}-2x=\frac{6}{-6}$$

Împărțiți 6 la -6.

$$x^{2}-2x=-1$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=-1+1$$

Adunați -1 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=0$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-1=0 x-1=0$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=1$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=1$$