Rezolvați 7x^2-3x-5=0

$$7 { x }^{ 2 } -3x-5=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{149} + 3}{14} \approx 1,086182544$$

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}\approx -0,657611115$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -3 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 7\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-28\left(-5\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -5.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+140}}{2\times 7}$$

Adunați 9 cu 140.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{3±\sqrt{149}}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu \sqrt{149}.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±\sqrt{149}}{14} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{149} din 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-3x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$7x^{2}-3x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7x^{2}-3x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$7x^{2}-3x=5$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}-3x}{7}=\frac{5}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x=\frac{5}{7}$$

Împărțiți -\frac{3}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{14}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{5}{7}+\left(-\frac{3}{14}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{5}{7}+\frac{9}{196}$$

Adunați \frac{5}{7} cu \frac{9}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}=\frac{149}{196}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{7}x+\frac{9}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}=\frac{149}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{149}{196}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{14}=\frac{\sqrt{149}}{14} x-\frac{3}{14}=-\frac{\sqrt{149}}{14}$$

Adunați \frac{3}{14} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{149}+3}{14} x=\frac{3-\sqrt{149}}{14}$$