Rezolvați 6x-1=9x^2

$$6x-1=9 { x }^{ 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{3}\approx 0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -9x^{2}+ax+bx-1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=6 ab=-9\left(-1\right)=9$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 9.

$$1,9 3,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+9=10 3+3=6$$

Soluția este perechea care dă suma de 6.

$$a=3 b=3$$

Rescrieți -9x^{2}+6x-1 ca \left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right).

$$\left(-9x^{2}+3x\right)+\left(3x-1\right)$$

Scoateți factorul comun -3x din -9x^{2}+3x.

$$-3x\left(3x-1\right)+3x-1$$

Scoateți termenul comun 3x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-1\right)\left(-3x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-1=0 și -3x+1=0.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-9x^{2}+6x-1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -9, b cu 6 și c cu -1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Ridicați 6 la pătrat.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-9\right)\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+36\left(-1\right)}}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 36 cu -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-36}}{2\left(-9\right)}$$

Adunați 36 cu -36.

$$x=\frac{-6±\sqrt{0}}{2\left(-9\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$x=-\frac{6}{2\left(-9\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -9.

$$x=-\frac{6}{-18}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{-18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 9x^{2} din ambele părți.

$$6x-1-9x^{2}=0$$

Adăugați 1 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$6x-9x^{2}=1$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-9x^{2}+6x=1$$

Se împart ambele părți la -9.

$$\frac{-9x^{2}+6x}{-9}=\frac{1}{-9}$$

Împărțirea la -9 anulează înmulțirea cu -9.

$$x^{2}+\frac{6}{-9}x=\frac{1}{-9}$$

Reduceți fracția \frac{6}{-9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{-9}$$

Împărțiți 1 la -9.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{9}$$

Împărțiți -\frac{2}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{-1+1}{9}$$

Adunați -\frac{1}{9} cu \frac{1}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=0$$

Factor x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{3}=0 x-\frac{1}{3}=0$$

Adunați \frac{1}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{3} x=\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$x=\frac{1}{3}$$