Rezolvați 6t+35t^2/2=12

$$6t+ \frac{ 35 { t }^{ 2 } }{ 2 } = 12$$

Rezolvați pentru t

$$t=\frac{2\sqrt{219}-6}{35}\approx 0,674208491$$

$$t=\frac{-2\sqrt{219}-6}{35}\approx -1,017065634$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$12t+35t^{2}=24$$

Scădeți 24 din ambele părți.

$$12t+35t^{2}-24=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$35t^{2}+12t-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 35, b cu 12 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 35\left(-24\right)}}{2\times 35}$$

Ridicați 12 la pătrat.

$$t=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 35\left(-24\right)}}{2\times 35}$$

Înmulțiți -4 cu 35.

$$t=\frac{-12±\sqrt{144-140\left(-24\right)}}{2\times 35}$$

Înmulțiți -140 cu -24.

$$t=\frac{-12±\sqrt{144+3360}}{2\times 35}$$

Adunați 144 cu 3360.

$$t=\frac{-12±\sqrt{3504}}{2\times 35}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3504.

$$t=\frac{-12±4\sqrt{219}}{2\times 35}$$

Înmulțiți 2 cu 35.

$$t=\frac{-12±4\sqrt{219}}{70}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-12±4\sqrt{219}}{70} atunci când ± este plus. Adunați -12 cu 4\sqrt{219}.

$$t=\frac{4\sqrt{219}-12}{70}$$

Împărțiți -12+4\sqrt{219} la 70.

$$t=\frac{2\sqrt{219}-6}{35}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{-12±4\sqrt{219}}{70} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{219} din -12.

$$t=\frac{-4\sqrt{219}-12}{70}$$

Împărțiți -12-4\sqrt{219} la 70.

$$t=\frac{-2\sqrt{219}-6}{35}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{2\sqrt{219}-6}{35} t=\frac{-2\sqrt{219}-6}{35}$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 2.

$$12t+35t^{2}=24$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$35t^{2}+12t=24$$

Se împart ambele părți la 35.

$$\frac{35t^{2}+12t}{35}=\frac{24}{35}$$

Împărțirea la 35 anulează înmulțirea cu 35.

$$t^{2}+\frac{12}{35}t=\frac{24}{35}$$

Împărțiți \frac{12}{35}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{6}{35}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{6}{35} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}+\frac{12}{35}t+\left(\frac{6}{35}\right)^{2}=\frac{24}{35}+\left(\frac{6}{35}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{6}{35} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}+\frac{12}{35}t+\frac{36}{1225}=\frac{24}{35}+\frac{36}{1225}$$

Adunați \frac{24}{35} cu \frac{36}{1225} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}+\frac{12}{35}t+\frac{36}{1225}=\frac{876}{1225}$$

Factor t^{2}+\frac{12}{35}t+\frac{36}{1225}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{6}{35}\right)^{2}=\frac{876}{1225}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t+\frac{6}{35}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{876}{1225}}$$

Simplificați.

$$t+\frac{6}{35}=\frac{2\sqrt{219}}{35} t+\frac{6}{35}=-\frac{2\sqrt{219}}{35}$$

Scădeți \frac{6}{35} din ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{2\sqrt{219}-6}{35} t=\frac{-2\sqrt{219}-6}{35}$$