Rezolvați 6500=n[595-15n)

$$6500 = n [ 595 - 15 n )$$

Rezolvați pentru n

$$n=\frac{119+\sqrt{1439}i}{6}\approx 19,833333333+6,322358913i$$

$$n=\frac{-\sqrt{1439}i+119}{6}\approx 19,833333333-6,322358913i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu 595-15n.

$$6500=595n-15n^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$595n-15n^{2}=6500$$

Scădeți 6500 din ambele părți.

$$595n-15n^{2}-6500=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-15n^{2}+595n-6500=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -15, b cu 595 și c cu -6500 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-595±\sqrt{595^{2}-4\left(-15\right)\left(-6500\right)}}{2\left(-15\right)}$$

Ridicați 595 la pătrat.

$$n=\frac{-595±\sqrt{354025-4\left(-15\right)\left(-6500\right)}}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -15.

$$n=\frac{-595±\sqrt{354025+60\left(-6500\right)}}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți 60 cu -6500.

$$n=\frac{-595±\sqrt{354025-390000}}{2\left(-15\right)}$$

Adunați 354025 cu -390000.

$$n=\frac{-595±\sqrt{-35975}}{2\left(-15\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -35975.

$$n=\frac{-595±5\sqrt{1439}i}{2\left(-15\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -15.

$$n=\frac{-595±5\sqrt{1439}i}{-30}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-595±5\sqrt{1439}i}{-30} atunci când ± este plus. Adunați -595 cu 5i\sqrt{1439}.

$$n=\frac{-595+5\sqrt{1439}i}{-30}$$

Împărțiți -595+5i\sqrt{1439} la -30.

$$n=\frac{-\sqrt{1439}i+119}{6}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-595±5\sqrt{1439}i}{-30} atunci când ± este minus. Scădeți 5i\sqrt{1439} din -595.

$$n=\frac{-5\sqrt{1439}i-595}{-30}$$

Împărțiți -595-5i\sqrt{1439} la -30.

$$n=\frac{119+\sqrt{1439}i}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{-\sqrt{1439}i+119}{6} n=\frac{119+\sqrt{1439}i}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți n cu 595-15n.

$$6500=595n-15n^{2}$$

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$595n-15n^{2}=6500$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-15n^{2}+595n=6500$$

Se împart ambele părți la -15.

$$\frac{-15n^{2}+595n}{-15}=\frac{6500}{-15}$$

Împărțirea la -15 anulează înmulțirea cu -15.

$$n^{2}+\frac{595}{-15}n=\frac{6500}{-15}$$

Reduceți fracția \frac{595}{-15} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$n^{2}-\frac{119}{3}n=\frac{6500}{-15}$$

Reduceți fracția \frac{6500}{-15} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$n^{2}-\frac{119}{3}n=-\frac{1300}{3}$$

Împărțiți -\frac{119}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{119}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{119}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-\frac{119}{3}n+\left(-\frac{119}{6}\right)^{2}=-\frac{1300}{3}+\left(-\frac{119}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{119}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-\frac{119}{3}n+\frac{14161}{36}=-\frac{1300}{3}+\frac{14161}{36}$$

Adunați -\frac{1300}{3} cu \frac{14161}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}-\frac{119}{3}n+\frac{14161}{36}=-\frac{1439}{36}$$

Factorul n^{2}-\frac{119}{3}n+\frac{14161}{36}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{119}{6}\right)^{2}=-\frac{1439}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{119}{6}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1439}{36}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{119}{6}=\frac{\sqrt{1439}i}{6} n-\frac{119}{6}=-\frac{\sqrt{1439}i}{6}$$

Adunați \frac{119}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{119+\sqrt{1439}i}{6} n=\frac{-\sqrt{1439}i+119}{6}$$