Rezolvați 65x^2-7x-90=0

$$65 x ^ { 2 } - 7 x - 90 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{23449} + 7}{130} \approx 1,231774332$$

$$x=\frac{7-\sqrt{23449}}{130}\approx -1,124082024$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$65x^{2}-7x-90=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 65, b cu -7 și c cu -90 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 65\left(-90\right)}}{2\times 65}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 65\left(-90\right)}}{2\times 65}$$

Înmulțiți -4 cu 65.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-260\left(-90\right)}}{2\times 65}$$

Înmulțiți -260 cu -90.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+23400}}{2\times 65}$$

Adunați 49 cu 23400.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{23449}}{2\times 65}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±\sqrt{23449}}{2\times 65}$$

Înmulțiți 2 cu 65.

$$x=\frac{7±\sqrt{23449}}{130}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{23449}}{130} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu \sqrt{23449}.

$$x=\frac{\sqrt{23449}+7}{130}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±\sqrt{23449}}{130} atunci când ± este minus. Scădeți \sqrt{23449} din 7.

$$x=\frac{7-\sqrt{23449}}{130}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{23449}+7}{130} x=\frac{7-\sqrt{23449}}{130}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$65x^{2}-7x-90=0$$

Adunați 90 la ambele părți ale ecuației.

$$65x^{2}-7x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Scăderea -90 din el însuși are ca rezultat 0.

$$65x^{2}-7x=-\left(-90\right)$$

Scădeți -90 din 0.

$$65x^{2}-7x=90$$

Se împart ambele părți la 65.

$$\frac{65x^{2}-7x}{65}=\frac{90}{65}$$

Împărțirea la 65 anulează înmulțirea cu 65.

$$x^{2}-\frac{7}{65}x=\frac{90}{65}$$

Reduceți fracția \frac{90}{65} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 5.

$$x^{2}-\frac{7}{65}x=\frac{18}{13}$$

Împărțiți -\frac{7}{65}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{130}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{130} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{65}x+\left(-\frac{7}{130}\right)^{2}=\frac{18}{13}+\left(-\frac{7}{130}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{130} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{65}x+\frac{49}{16900}=\frac{18}{13}+\frac{49}{16900}$$

Adunați \frac{18}{13} cu \frac{49}{16900} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{65}x+\frac{49}{16900}=\frac{23449}{16900}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{65}x+\frac{49}{16900}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{130}\right)^{2}=\frac{23449}{16900}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{130}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{23449}{16900}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{130}=\frac{\sqrt{23449}}{130} x-\frac{7}{130}=-\frac{\sqrt{23449}}{130}$$

Adunați \frac{7}{130} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{23449}+7}{130} x=\frac{7-\sqrt{23449}}{130}$$