Rezolvați 64x^2+24sqrt{5}x+33=0

$$64 x ^ { 2 } + 24 \sqrt { 5 } x + 33 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}\approx -0,419262746+0,582961191i$$

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}\approx -0,419262746-0,582961191i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 64, b cu 24\sqrt{5} și c cu 33 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{\left(24\sqrt{5}\right)^{2}-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Ridicați 24\sqrt{5} la pătrat.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-4\times 64\times 33}}{2\times 64}$$

Înmulțiți -4 cu 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-256\times 33}}{2\times 64}$$

Înmulțiți -256 cu 33.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{2880-8448}}{2\times 64}$$

Adunați 2880 cu -8448.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±\sqrt{-5568}}{2\times 64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -5568.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{2\times 64}$$

Înmulțiți 2 cu 64.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} atunci când ± este plus. Adunați -24\sqrt{5} cu 8i\sqrt{87}.

$$x=\frac{-24\sqrt{5}+8\sqrt{87}i}{128}$$

Împărțiți -24\sqrt{5}+8i\sqrt{87} la 128.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-24\sqrt{5}±8\sqrt{87}i}{128} atunci când ± este minus. Scădeți 8i\sqrt{87} din -24\sqrt{5}.

$$x=\frac{-8\sqrt{87}i-24\sqrt{5}}{128}$$

Împărțiți -24\sqrt{5}-8i\sqrt{87} la 128.

$$x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33=0$$

Scădeți 33 din ambele părți ale ecuației.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x+33-33=-33$$

Scăderea 33 din el însuși are ca rezultat 0.

$$64x^{2}+24\sqrt{5}x=-33$$

Se împart ambele părți la 64.

$$\frac{64x^{2}+24\sqrt{5}x}{64}=-\frac{33}{64}$$

Împărțirea la 64 anulează înmulțirea cu 64.

$$x^{2}+\frac{24\sqrt{5}}{64}x=-\frac{33}{64}$$

Împărțiți 24\sqrt{5} la 64.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x=-\frac{33}{64}$$

Împărțiți \frac{3\sqrt{5}}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{3\sqrt{5}}{16}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{3\sqrt{5}}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{33}{64}+\left(\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{3\sqrt{5}}{16} la pătrat.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{33}{64}+\frac{45}{256}$$

Adunați -\frac{33}{64} cu \frac{45}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}=-\frac{87}{256}$$

Factor x^{2}+\frac{3\sqrt{5}}{8}x+\frac{45}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}=-\frac{87}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3\sqrt{5}}{16}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{87}{256}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=\frac{\sqrt{87}i}{16} x+\frac{3\sqrt{5}}{16}=-\frac{\sqrt{87}i}{16}$$

Scădeți \frac{3\sqrt{5}}{16} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-3\sqrt{5}+\sqrt{87}i}{16} x=\frac{-\sqrt{87}i-3\sqrt{5}}{16}$$