Rezolvați 64v^2+48v+9

$$64 v ^ { 2 } + 48 v + 9$$

Descompunere în factori

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 64v^{2}+av+bv+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=48 ab=64\times 9=576$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 576.

$$1,576 2,288 3,192 4,144 6,96 8,72 9,64 12,48 16,36 18,32 24,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+576=577 2+288=290 3+192=195 4+144=148 6+96=102 8+72=80 9+64=73 12+48=60 16+36=52 18+32=50 24+24=48$$

Soluția este perechea care dă suma de 48.

$$a=24 b=24$$

Rescrieți 64v^{2}+48v+9 ca \left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right).

$$\left(64v^{2}+24v\right)+\left(24v+9\right)$$

Factor 8v în primul și 3 în al doilea grup.

$$8v\left(8v+3\right)+3\left(8v+3\right)$$

Scoateți termenul comun 8v+3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Pași utilizând pătratul binomului

Acest trinom are forma unui pătrat de trinom, înmulțit probabil cu un factor comun. Pătratele de trinom pot fi descompuse în factori prin găsirea rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit.

$$factor(64v^{2}+48v+9)$$

Găsiți cel mai mare divizor comun al coeficienților.

$$gcf(64,48,9)=1$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la început, 64v^{2}.

$$\sqrt{64v^{2}}=8v$$

Aflați rădăcina pătrată a termenului de la sfârșit, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

Pătratul trinomului este pătratul binomului ce reprezintă suma sau diferența rădăcinilor pătrate ale termenilor de început și de sfârșit, cu semnul determinat de semnul termenului de mijloc al pătratului trinomului.

$$\left(8v+3\right)^{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$64v^{2}+48v+9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$v=\frac{-48±\sqrt{48^{2}-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Ridicați 48 la pătrat.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-4\times 64\times 9}}{2\times 64}$$

Înmulțiți -4 cu 64.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-256\times 9}}{2\times 64}$$

Înmulțiți -256 cu 9.

$$v=\frac{-48±\sqrt{2304-2304}}{2\times 64}$$

Adunați 2304 cu -2304.

$$v=\frac{-48±\sqrt{0}}{2\times 64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$v=\frac{-48±0}{2\times 64}$$

Înmulțiți 2 cu 64.

$$v=\frac{-48±0}{128}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{3}{8} și x_{2} cu -\frac{3}{8}.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{3}{8}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$64v^{2}+48v+9=64\left(v+\frac{3}{8}\right)\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Adunați \frac{3}{8} cu v găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\left(v+\frac{3}{8}\right)$$

Adunați \frac{3}{8} cu v găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{8v+3}{8}\times \frac{8v+3}{8}$$

Înmulțiți \frac{8v+3}{8} cu \frac{8v+3}{8} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{8\times 8}$$

Înmulțiți 8 cu 8.

$$64v^{2}+48v+9=64\times \frac{\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)}{64}$$

Simplificați cu 64, cel mai mare factor comun din 64 și 64.

$$64v^{2}+48v+9=\left(8v+3\right)\left(8v+3\right)$$

Evaluați

$$\left(8v+3\right)^{2}$$