Rezolvați 6y^2+13y-63=0

$$6 y ^ { 2 } + 13 y - 63 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y = -\frac{9}{2} = -4\frac{1}{2} = -4,5$$

$$y = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6y^{2}+ay+by-63. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=6\left(-63\right)=-378$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -378.

$$-1,378 -2,189 -3,126 -6,63 -7,54 -9,42 -14,27 -18,21$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+378=377 -2+189=187 -3+126=123 -6+63=57 -7+54=47 -9+42=33 -14+27=13 -18+21=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=-14 b=27$$

Rescrieți 6y^{2}+13y-63 ca \left(6y^{2}-14y\right)+\left(27y-63\right).

$$\left(6y^{2}-14y\right)+\left(27y-63\right)$$

Factor 2y în primul și 9 în al doilea grup.

$$2y\left(3y-7\right)+9\left(3y-7\right)$$

Scoateți termenul comun 3y-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3y-7\right)\left(2y+9\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3y-7=0 și 2y+9=0.

$$y=\frac{7}{3} y=-\frac{9}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6y^{2}+13y-63=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 13 și c cu -63 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 6\left(-63\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 6\left(-63\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169-24\left(-63\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -63.

$$y=\frac{-13±\sqrt{169+1512}}{2\times 6}$$

Adunați 169 cu 1512.

$$y=\frac{-13±\sqrt{1681}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1681.

$$y=\frac{-13±41}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$y=\frac{-13±41}{12}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-13±41}{12} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 41.

$$y=\frac{28}{12}$$

Reduceți fracția \frac{28}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$y=\frac{7}{3}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-13±41}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 41 din -13.

$$y=-\frac{54}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-54}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$y=-\frac{9}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=\frac{7}{3} y=-\frac{9}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6y^{2}+13y-63=0$$

Adunați 63 la ambele părți ale ecuației.

$$6y^{2}+13y-63-\left(-63\right)=-\left(-63\right)$$

Scăderea -63 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6y^{2}+13y=-\left(-63\right)$$

Scădeți -63 din 0.

$$6y^{2}+13y=63$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6y^{2}+13y}{6}=\frac{63}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=\frac{63}{6}$$

Reduceți fracția \frac{63}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y=\frac{21}{2}$$

Împărțiți \frac{13}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{21}{2}+\left(\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=\frac{21}{2}+\frac{169}{144}$$

Adunați \frac{21}{2} cu \frac{169}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}=\frac{1681}{144}$$

Factor y^{2}+\frac{13}{6}y+\frac{169}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{1681}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y+\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{144}}$$

Simplificați.

$$y+\frac{13}{12}=\frac{41}{12} y+\frac{13}{12}=-\frac{41}{12}$$

Scădeți \frac{13}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{7}{3} y=-\frac{9}{2}$$