Rezolvați 6x^2-x=15

$$6 x ^ { 2 } - x = 15$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 15 din ambele părți.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-1 ab=6\left(-15\right)=-90$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -90 de produs.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-10 b=9$$

Rescrieți 6x^{2}-x-15 ca \left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right).

$$\left(6x^{2}-10x\right)+\left(9x-15\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 3 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(3x-5\right)+3\left(3x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 3x-5=0 și 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-x=15$$

Scădeți 15 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-x-15=15-15$$

Scăderea 15 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-x-15=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -1 și c cu -15 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-15\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -15.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+360}}{2\times 6}$$

Adunați 1 cu 360.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{361}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 361.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±19}{2\times 6}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±19}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{1±19}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±19}{12} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 19.

$$x=\frac{20}{12}$$

Reduceți fracția \frac{20}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{5}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±19}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 19 din 1.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=15$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{15}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{15}{6}$$

Reduceți fracția \frac{15}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{5}{2}$$

Împărțiți -\frac{1}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{5}{2}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{5}{2}+\frac{1}{144}$$

Adunați \frac{5}{2} cu \frac{1}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{361}{144}$$

Factorul x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{361}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{19}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{19}{12}$$

Adunați \frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5}{3} x=-\frac{3}{2}$$