Rezolvați 6x^2-7x-3=0

$$6 x ^ { 2 } - 7 x - 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-7 ab=6\left(-3\right)=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -18 de produs.

$$1,-18 2,-9 3,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-18=-17 2-9=-7 3-6=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-9 b=2$$

Rescrieți 6x^{2}-7x-3 ca \left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(2x-3\right)$$

Scoateți factorul comun 3x din 6x^{2}-9x.

$$3x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-3=0 și 3x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -7 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 6\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-24\left(-3\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+72}}{2\times 6}$$

Adunați 49 cu 72.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±11}{2\times 6}$$

Opusul lui -7 este 7.

$$x=\frac{7±11}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{7±11}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±11}{12} atunci când ± este plus. Adunați 7 cu 11.

$$x=\frac{18}{12}$$

Reduceți fracția \frac{18}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{7±11}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-7x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$6x^{2}-7x=3$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-7x}{6}=\frac{3}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{3}{6}$$

Reduceți fracția \frac{3}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x=\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{7}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{2}+\left(-\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{2}+\frac{49}{144}$$

Adunați \frac{1}{2} cu \frac{49}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{121}{144}$$

Factorul x^{2}-\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{121}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{12}=\frac{11}{12} x-\frac{7}{12}=-\frac{11}{12}$$

Adunați \frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{3}$$