Rezolvați 6x^2-5x-6=0

$$6 x ^ { 2 } - 5 x - 6 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-9 b=4$$

Rescrieți 6x^{2}-5x-6 ca \left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right).

$$\left(6x^{2}-9x\right)+\left(4x-6\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(2x-3\right)+2\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-3=0 și 3x+2=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -5 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Adunați 25 cu 144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 6}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{5±13}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±13}{12} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 13.

$$x=\frac{18}{12}$$

Reduceți fracția \frac{18}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±13}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 5.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-5x-6=0$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-5x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Scăderea -6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-5x=-\left(-6\right)$$

Scădeți -6 din 0.

$$6x^{2}-5x=6$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x=1$$

Împărțiți -\frac{5}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(-\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Adunați 1 cu \frac{25}{144}.

$$x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x-\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Adunați \frac{5}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{2}{3}$$