Rezolvați 6x^2-42x+36=0

$$6 x ^ { 2 } - 42 x + 36 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=1$$

$$x=6$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 6.

$$x^{2}-7x+6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-7 ab=1\times 6=6$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

Soluția este perechea care dă suma de -7.

$$a=-6 b=-1$$

Rescrieți x^{2}-7x+6 ca \left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(-x+6\right)$$

Factor x în primul și -1 în al doilea grup.

$$x\left(x-6\right)-\left(x-6\right)$$

Scoateți termenul comun x-6 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-6\right)\left(x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-6=0 și x-1=0.

$$x=6 x=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-42x+36=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -42 și c cu 36 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{\left(-42\right)^{2}-4\times 6\times 36}}{2\times 6}$$

Ridicați -42 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-4\times 6\times 36}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-24\times 36}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 36.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{1764-864}}{2\times 6}$$

Adunați 1764 cu -864.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±\sqrt{900}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$x=\frac{-\left(-42\right)±30}{2\times 6}$$

Opusul lui -42 este 42.

$$x=\frac{42±30}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{42±30}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{42±30}{12} atunci când ± este plus. Adunați 42 cu 30.

$$x=\frac{72}{12}$$

Împărțiți 72 la 12.

$$x=6$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{42±30}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din 42.

$$x=\frac{12}{12}$$

Împărțiți 12 la 12.

$$x=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=6 x=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-42x+36=0$$

Scădeți 36 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-42x+36-36=-36$$

Scăderea 36 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-42x=-36$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-42x}{6}=-\frac{36}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{42}{6}\right)x=-\frac{36}{6}$$

Împărțiți -42 la 6.

$$x^{2}-7x=-\frac{36}{6}$$

Împărțiți -36 la 6.

$$x^{2}-7x=-6$$

Împărțiți -7, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-6+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-6+\frac{49}{4}$$

Adunați -6 cu \frac{49}{4}.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{25}{4}$$

Factor x^{2}-7x+\frac{49}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{25}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{5}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{5}{2}$$

Adunați \frac{7}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=6 x=1$$