Rezolvați 6x^2-3x-45

$$6 x ^ { 2 } - 3 x - 45$$

Descompunere în factori

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 3.

$$3\left(2x^{2}-x-15\right)$$

Să luăm 2x^{2}-x-15. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-15. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-1 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât pozitivul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -30 de produs.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-6 b=5$$

Rescrieți 2x^{2}-x-15 ca \left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right).

$$\left(2x^{2}-6x\right)+\left(5x-15\right)$$

Scoateți scoateți factorul 2x din primul și 5 din cel de-al doilea grup.

$$2x\left(x-3\right)+5\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-3x-45=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 6\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-24\left(-45\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -45.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+1080}}{2\times 6}$$

Adunați 9 cu 1080.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1089}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1089.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±33}{2\times 6}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$x=\frac{3±33}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{3±33}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±33}{12} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu 33.

$$x=\frac{36}{12}$$

Împărțiți 36 la 12.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{3±33}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 33 din 3.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 3 și x_{2} cu -\frac{5}{2}.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\left(x+\frac{5}{2}\right)$$

Adunați \frac{5}{2} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-3x-45=6\left(x-3\right)\times \frac{2x+5}{2}$$

Simplificați cu 2, cel mai mare factor comun din 6 și 2.

$$6x^{2}-3x-45=3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$

Evaluați

$$3\left(x-3\right)\left(2x+5\right)$$