Rezolvați 6x^2-2x-4=0

$$6 x ^ { 2 } - 2 x - 4 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 2.

$$3x^{2}-x-2=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=3\left(-2\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$1,-6 2,-3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-6=-5 2-3=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-3 b=2$$

Rescrieți 3x^{2}-x-2 ca \left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(2x-2\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(x-1\right)+2\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 3x+2=0.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-2x-4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -2 și c cu -4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 6\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -2 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 6\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-24\left(-4\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+96}}{2\times 6}$$

Adunați 4 cu 96.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{100}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±10}{2\times 6}$$

Opusul lui -2 este 2.

$$x=\frac{2±10}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{2±10}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±10}{12} atunci când ± este plus. Adunați 2 cu 10.

$$x=\frac{12}{12}$$

Împărțiți 12 la 12.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{2±10}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din 2.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-2x-4=0$$

Adunați 4 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-2x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

Scăderea -4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-2x=-\left(-4\right)$$

Scădeți -4 din 0.

$$6x^{2}-2x=4$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-2x}{6}=\frac{4}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{6}\right)x=\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{4}{6}$$

Reduceți fracția \frac{4}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x=\frac{2}{3}$$

Împărțiți -\frac{1}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{2}{3}+\left(-\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{2}{3}+\frac{1}{36}$$

Adunați \frac{2}{3} cu \frac{1}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}=\frac{25}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{3}x+\frac{1}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{25}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} x-\frac{1}{6}=-\frac{5}{6}$$

Adunați \frac{1}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=-\frac{2}{3}$$