Rezolvați 6x^2-14x-9=0

$$6 x ^ { 2 } - 14 x - 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{103} + 7}{6} \approx 2,858148594$$

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}\approx -0,524815261$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -14 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196+216}}{2\times 6}$$

Adunați 196 cu 216.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{412}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 412.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2\sqrt{103}.

$$x=\frac{2\sqrt{103}+14}{12}$$

Împărțiți 14+2\sqrt{103} la 12.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{103}}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{103} din 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{103}}{12}$$

Împărțiți 14-2\sqrt{103} la 12.

$$x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-14x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-14x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-14x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$6x^{2}-14x=9$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-14x}{6}=\frac{9}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{14}{6}\right)x=\frac{9}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-14}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{9}{6}$$

Reduceți fracția \frac{9}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x=\frac{3}{2}$$

Împărțiți -\frac{7}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(-\frac{7}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{3}{2}+\frac{49}{36}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{49}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}=\frac{103}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{3}x+\frac{49}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}=\frac{103}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{103}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{6}=\frac{\sqrt{103}}{6} x-\frac{7}{6}=-\frac{\sqrt{103}}{6}$$

Adunați \frac{7}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{103}+7}{6} x=\frac{7-\sqrt{103}}{6}$$