Rezolvați 6x^2-12x-210=0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x - 210 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-5$$

$$x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 6.

$$x^{2}-2x-35=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-35. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-2 ab=1\left(-35\right)=-35$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -35.

$$1,-35 5,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-35=-34 5-7=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -2.

$$a=-7 b=5$$

Rescrieți x^{2}-2x-35 ca \left(x^{2}-7x\right)+\left(5x-35\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(5x-35\right)$$

Factor x în primul și 5 în al doilea grup.

$$x\left(x-7\right)+5\left(x-7\right)$$

Scoateți termenul comun x-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-7\right)\left(x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-7=0 și x+5=0.

$$x=7 x=-5$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-12x-210=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -12 și c cu -210 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 6\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-24\left(-210\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -210.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+5040}}{2\times 6}$$

Adunați 144 cu 5040.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{5184}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 5184.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±72}{2\times 6}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±72}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{12±72}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±72}{12} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 72.

$$x=\frac{84}{12}$$

Împărțiți 84 la 12.

$$x=7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±72}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 72 din 12.

$$x=-\frac{60}{12}$$

Împărțiți -60 la 12.

$$x=-5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=7 x=-5$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-12x-210=0$$

Adunați 210 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-12x-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Scăderea -210 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-12x=-\left(-210\right)$$

Scădeți -210 din 0.

$$6x^{2}-12x=210$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-12x}{6}=\frac{210}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{6}\right)x=\frac{210}{6}$$

Împărțiți -12 la 6.

$$x^{2}-2x=\frac{210}{6}$$

Împărțiți 210 la 6.

$$x^{2}-2x=35$$

Împărțiți -2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -1. Apoi, adunați pătratul lui -1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-2x+1=35+1$$

Adunați 35 cu 1.

$$x^{2}-2x+1=36$$

Factor x^{2}-2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=36$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Simplificați.

$$x-1=6 x-1=-6$$

Adunați 1 la ambele părți ale ecuației.

$$x=7 x=-5$$