Rezolvați 6x^2-12x+3geq0

$$6 x ^ { 2 } - 12 x + 3 \geq 0$$

Rezolvați pentru x

$$x\in (-\infty,-\frac{\sqrt{2}}{2}+1]\cup [\frac{\sqrt{2}}{2}+1,\infty)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Pentru a rezolva inegalitatea, descompuneți în factori partea stângă. Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-12x+3=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate folosind formula ecuației de gradul doi: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. În formulă, înlocuiți a cu 6, b cu -12 și c cu 3.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Faceți calculele.

$$x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12}$$

Rezolvați ecuația x=\frac{12±6\sqrt{2}}{12} când ± este plus și când ± este minus.

$$x=\frac{\sqrt{2}}{2}+1 x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Rescrieți inegalitatea utilizând soluțiile obținute.

$$6\left(x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\left(x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\right)\geq 0$$

Pentru ca produsul să fie ≥0, x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) și x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) trebuie să fie ambele fie ≤0, fie ≥0. Tratați cazul în care atât x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right), cât și x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) sunt ≤0.

$$x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0 x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\leq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Tratați cazul în care atât x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right), cât și x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right) sunt ≥0.

$$x-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0 x-\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+1\right)\geq 0$$

Soluția care îndeplinește ambele inegalități este x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1.

$$x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$

Soluția finală este reuniunea soluțiilor obținute.

$$x\leq -\frac{\sqrt{2}}{2}+1\text{; }x\geq \frac{\sqrt{2}}{2}+1$$