Rezolvați 6x^2-10x+3=0

$$6 x ^ { 2 } - 10 x + 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{\sqrt{7} + 5}{6} \approx 1,274291885$$

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{6}\approx 0,392374781$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-10x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -10 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Ridicați -10 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-24\times 3}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 3.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-72}}{2\times 6}$$

Adunați 100 cu -72.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{28}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 28.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{7}}{2\times 6}$$

Opusul lui -10 este 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{7}}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{10±2\sqrt{7}}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{7}}{12} atunci când ± este plus. Adunați 10 cu 2\sqrt{7}.

$$x=\frac{2\sqrt{7}+10}{12}$$

Împărțiți 10+2\sqrt{7} la 12.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{10±2\sqrt{7}}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{7} din 10.

$$x=\frac{10-2\sqrt{7}}{12}$$

Împărțiți 10-2\sqrt{7} la 12.

$$x=\frac{5-\sqrt{7}}{6}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{7}}{6}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-10x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-10x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-10x=-3$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-10x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{10}{6}\right)x=-\frac{3}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-10}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{3}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți -\frac{5}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{6}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{6} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{1}{2}+\frac{25}{36}$$

Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{25}{36} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{7}{36}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{7}{36}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7}{36}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{\sqrt{7}}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{7}}{6}$$

Adunați \frac{5}{6} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{\sqrt{7}+5}{6} x=\frac{5-\sqrt{7}}{6}$$