Rezolvați 6x^2+7x+2=0

$$6 x ^ { 2 } + 7 x + 2 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx+2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=6\times 2=12$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 12.

$$1,12 2,6 3,4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+12=13 2+6=8 3+4=7$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=3 b=4$$

Rescrieți 6x^{2}+7x+2 ca \left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right).

$$\left(6x^{2}+3x\right)+\left(4x+2\right)$$

Factor 3x în primul și 2 în al doilea grup.

$$3x\left(2x+1\right)+2\left(2x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x+1\right)\left(3x+2\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x+1=0 și 3x+2=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 7 și c cu 2 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\times 2}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\times 2}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-48}}{2\times 6}$$

Adunați 49 cu -48.

$$x=\frac{-7±\sqrt{1}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1.

$$x=\frac{-7±1}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-7±1}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±1}{12} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 1.

$$x=-\frac{6}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-6}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±1}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 1 din -7.

$$x=-\frac{8}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x+2=0$$

Scădeți 2 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}+7x+2-2=-2$$

Scăderea 2 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}+7x=-2$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=-\frac{2}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{2}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=-\frac{1}{3}$$

Împărțiți \frac{7}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=-\frac{1}{3}+\frac{49}{144}$$

Adunați -\frac{1}{3} cu \frac{49}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{1}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{1}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{1}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{1}{12}$$

Scădeți \frac{7}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{2}{3}$$