Rezolvați 6v^2+17v+5

$$6 v ^ { 2 } + 17 v + 5$$

Descompunere în factori

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 6v^{2}+av+bv+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=17 ab=6\times 5=30$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Soluția este perechea care dă suma de 17.

$$a=2 b=15$$

Rescrieți 6v^{2}+17v+5 ca \left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right).

$$\left(6v^{2}+2v\right)+\left(15v+5\right)$$

Factor 2v în primul și 5 în al doilea grup.

$$2v\left(3v+1\right)+5\left(3v+1\right)$$

Scoateți termenul comun 3v+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6v^{2}+17v+5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$v=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Ridicați 17 la pătrat.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 6\times 5}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-24\times 5}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 5.

$$v=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 6}$$

Adunați 289 cu -120.

$$v=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$v=\frac{-17±13}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$v=\frac{-17±13}{12}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-17±13}{12} atunci când ± este plus. Adunați -17 cu 13.

$$v=-\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$v=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația v=\frac{-17±13}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -17.

$$v=-\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$v=-\frac{5}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu -\frac{1}{3} și x_{2} cu -\frac{5}{2}.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v-\left(-\frac{1}{3}\right)\right)\left(v-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$6v^{2}+17v+5=6\left(v+\frac{1}{3}\right)\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Adunați \frac{1}{3} cu v găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\left(v+\frac{5}{2}\right)$$

Adunați \frac{5}{2} cu v găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{3v+1}{3}\times \frac{2v+5}{2}$$

Înmulțiți \frac{3v+1}{3} cu \frac{2v+5}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{3\times 2}$$

Înmulțiți 3 cu 2.

$$6v^{2}+17v+5=6\times \frac{\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)}{6}$$

Simplificați cu 6, cel mai mare factor comun din 6 și 6.

$$6v^{2}+17v+5=\left(3v+1\right)\left(2v+5\right)$$

Evaluați

$$\left(2v+5\right)\left(3v+1\right)$$