Rezolvați 6r^2-11r+4

$$6 r ^ { 2 } - 11 r + 4$$

Descompunere în factori

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 6r^{2}+ar+br+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-11 ab=6\times 4=24$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 24.

$$-1,-24 -2,-12 -3,-8 -4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-24=-25 -2-12=-14 -3-8=-11 -4-6=-10$$

Soluția este perechea care dă suma de -11.

$$a=-8 b=-3$$

Rescrieți 6r^{2}-11r+4 ca \left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right).

$$\left(6r^{2}-8r\right)+\left(-3r+4\right)$$

Factor 2r în primul și -1 în al doilea grup.

$$2r\left(3r-4\right)-\left(3r-4\right)$$

Scoateți termenul comun 3r-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}-11r+4=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Ridicați -11 la pătrat.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 6\times 4}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-24\times 4}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 4.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-96}}{2\times 6}$$

Adunați 121 cu -96.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±5}{2\times 6}$$

Opusul lui -11 este 11.

$$r=\frac{11±5}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$r=\frac{11±5}{12}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{11±5}{12} atunci când ± este plus. Adunați 11 cu 5.

$$r=\frac{16}{12}$$

Reduceți fracția \frac{16}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$r=\frac{4}{3}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{11±5}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 11.

$$r=\frac{6}{12}$$

Reduceți fracția \frac{6}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$r=\frac{1}{2}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{4}{3} și x_{2} cu \frac{1}{2}.

$$6r^{2}-11r+4=6\left(r-\frac{4}{3}\right)\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Scădeți \frac{4}{3} din r găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\left(r-\frac{1}{2}\right)$$

Scădeți \frac{1}{2} din r găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{3r-4}{3}\times \frac{2r-1}{2}$$

Înmulțiți \frac{3r-4}{3} cu \frac{2r-1}{2} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{3\times 2}$$

Înmulțiți 3 cu 2.

$$6r^{2}-11r+4=6\times \frac{\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)}{6}$$

Simplificați cu 6, cel mai mare factor comun din 6 și 6.

$$6r^{2}-11r+4=\left(3r-4\right)\left(2r-1\right)$$

Evaluați

$$\left(2r-1\right)\left(3r-4\right)$$