Rezolvați 6r^2+29r-42

$$6 r ^ { 2 } + 29 r - 42$$

Descompunere în factori

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 6r^{2}+ar+br-42. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=29 ab=6\left(-42\right)=-252$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -252.

$$-1,252 -2,126 -3,84 -4,63 -6,42 -7,36 -9,28 -12,21 -14,18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+252=251 -2+126=124 -3+84=81 -4+63=59 -6+42=36 -7+36=29 -9+28=19 -12+21=9 -14+18=4$$

Soluția este perechea care dă suma de 29.

$$a=-7 b=36$$

Rescrieți 6r^{2}+29r-42 ca \left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right).

$$\left(6r^{2}-7r\right)+\left(36r-42\right)$$

Factor r în primul și 6 în al doilea grup.

$$r\left(6r-7\right)+6\left(6r-7\right)$$

Scoateți termenul comun 6r-7 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6r^{2}+29r-42=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$r=\frac{-29±\sqrt{29^{2}-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 29 la pătrat.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-4\times 6\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841-24\left(-42\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -42.

$$r=\frac{-29±\sqrt{841+1008}}{2\times 6}$$

Adunați 841 cu 1008.

$$r=\frac{-29±\sqrt{1849}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1849.

$$r=\frac{-29±43}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$r=\frac{-29±43}{12}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-29±43}{12} atunci când ± este plus. Adunați -29 cu 43.

$$r=\frac{14}{12}$$

Reduceți fracția \frac{14}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$r=\frac{7}{6}$$

Acum rezolvați ecuația r=\frac{-29±43}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 43 din -29.

$$r=-\frac{72}{12}$$

Împărțiți -72 la 12.

$$r=-6$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{7}{6} și x_{2} cu -6.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r-\left(-6\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$6r^{2}+29r-42=6\left(r-\frac{7}{6}\right)\left(r+6\right)$$

Scădeți \frac{7}{6} din r găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6r^{2}+29r-42=6\times \frac{6r-7}{6}\left(r+6\right)$$

Simplificați cu 6, cel mai mare factor comun din 6 și 6.

$$6r^{2}+29r-42=\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$

Evaluați

$$\left(6r-7\right)\left(r+6\right)$$