Rezolvați 6p^2-5=13p

$$6 p ^ { 2 } - 5 = 13 p$$

Rezolvați pentru p

$$p=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$p = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 13p din ambele părți.

$$6p^{2}-5-13p=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$6p^{2}-13p-5=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6p^{2}+ap+bp-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-13 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -13.

$$a=-15 b=2$$

Rescrieți 6p^{2}-13p-5 ca \left(6p^{2}-15p\right)+\left(2p-5\right).

$$\left(6p^{2}-15p\right)+\left(2p-5\right)$$

Scoateți factorul comun 3p din 6p^{2}-15p.

$$3p\left(2p-5\right)+2p-5$$

Scoateți termenul comun 2p-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2p-5\right)\left(3p+1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2p-5=0 și 3p+1=0.

$$p=\frac{5}{2} p=-\frac{1}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 13p din ambele părți.

$$6p^{2}-5-13p=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6p^{2}-13p-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -13 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -13 la pătrat.

$$p=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$p=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -5.

$$p=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169+120}}{2\times 6}$$

Adunați 169 cu 120.

$$p=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{289}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$p=\frac{-\left(-13\right)±17}{2\times 6}$$

Opusul lui -13 este 13.

$$p=\frac{13±17}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$p=\frac{13±17}{12}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{13±17}{12} atunci când ± este plus. Adunați 13 cu 17.

$$p=\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$p=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația p=\frac{13±17}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din 13.

$$p=-\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$p=-\frac{1}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$p=\frac{5}{2} p=-\frac{1}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 13p din ambele părți.

$$6p^{2}-5-13p=0$$

Adăugați 5 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$6p^{2}-13p=5$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6p^{2}-13p}{6}=\frac{5}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$p^{2}-\frac{13}{6}p=\frac{5}{6}$$

Împărțiți -\frac{13}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{13}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{13}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$p^{2}-\frac{13}{6}p+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{13}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$p^{2}-\frac{13}{6}p+\frac{169}{144}=\frac{5}{6}+\frac{169}{144}$$

Adunați \frac{5}{6} cu \frac{169}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$p^{2}-\frac{13}{6}p+\frac{169}{144}=\frac{289}{144}$$

Factor p^{2}-\frac{13}{6}p+\frac{169}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{289}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(p-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{144}}$$

Simplificați.

$$p-\frac{13}{12}=\frac{17}{12} p-\frac{13}{12}=-\frac{17}{12}$$

Adunați \frac{13}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$p=\frac{5}{2} p=-\frac{1}{3}$$