Rezolvați 6k^2=-49k-8

$$6 k ^ { 2 } = - 49 k - 8$$

Rezolvați pentru k

$$k=-8$$

$$k=-\frac{1}{6}\approx -0,166666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 49k la ambele părți.

$$6k^{2}+49k=-8$$

Adăugați 8 la ambele părți.

$$6k^{2}+49k+8=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6k^{2}+ak+bk+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=49 ab=6\times 8=48$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 48.

$$1,48 2,24 3,16 4,12 6,8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+48=49 2+24=26 3+16=19 4+12=16 6+8=14$$

Soluția este perechea care dă suma de 49.

$$a=1 b=48$$

Rescrieți 6k^{2}+49k+8 ca \left(6k^{2}+k\right)+\left(48k+8\right).

$$\left(6k^{2}+k\right)+\left(48k+8\right)$$

Factor k în primul și 8 în al doilea grup.

$$k\left(6k+1\right)+8\left(6k+1\right)$$

Scoateți termenul comun 6k+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(6k+1\right)\left(k+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 6k+1=0 și k+8=0.

$$k=-\frac{1}{6} k=-8$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Adăugați 49k la ambele părți.

$$6k^{2}+49k=-8$$

Adăugați 8 la ambele părți.

$$6k^{2}+49k+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 49 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-49±\sqrt{49^{2}-4\times 6\times 8}}{2\times 6}$$

Ridicați 49 la pătrat.

$$k=\frac{-49±\sqrt{2401-4\times 6\times 8}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$k=\frac{-49±\sqrt{2401-24\times 8}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 8.

$$k=\frac{-49±\sqrt{2401-192}}{2\times 6}$$

Adunați 2401 cu -192.

$$k=\frac{-49±\sqrt{2209}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2209.

$$k=\frac{-49±47}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$k=\frac{-49±47}{12}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-49±47}{12} atunci când ± este plus. Adunați -49 cu 47.

$$k=-\frac{2}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-2}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$k=-\frac{1}{6}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{-49±47}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 47 din -49.

$$k=-\frac{96}{12}$$

Împărțiți -96 la 12.

$$k=-8$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=-\frac{1}{6} k=-8$$

Pași pentru completarea pătratului

Adăugați 49k la ambele părți.

$$6k^{2}+49k=-8$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6k^{2}+49k}{6}=-\frac{8}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$k^{2}+\frac{49}{6}k=-\frac{8}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$k^{2}+\frac{49}{6}k=-\frac{4}{3}$$

Împărțiți \frac{49}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{49}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{49}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}+\frac{49}{6}k+\left(\frac{49}{12}\right)^{2}=-\frac{4}{3}+\left(\frac{49}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{49}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$k^{2}+\frac{49}{6}k+\frac{2401}{144}=-\frac{4}{3}+\frac{2401}{144}$$

Adunați -\frac{4}{3} cu \frac{2401}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$k^{2}+\frac{49}{6}k+\frac{2401}{144}=\frac{2209}{144}$$

Factor k^{2}+\frac{49}{6}k+\frac{2401}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{49}{12}\right)^{2}=\frac{2209}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k+\frac{49}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{144}}$$

Simplificați.

$$k+\frac{49}{12}=\frac{47}{12} k+\frac{49}{12}=-\frac{47}{12}$$

Scădeți \frac{49}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$k=-\frac{1}{6} k=-8$$