Rezolvați 6a^2-35a+50=0

$$6 a ^ { 2 } - 35 a + 50 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

$$a = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} \approx 3,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6a^{2}+aa+ba+50. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-35 ab=6\times 50=300$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 300.

$$-1,-300 -2,-150 -3,-100 -4,-75 -5,-60 -6,-50 -10,-30 -12,-25 -15,-20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-300=-301 -2-150=-152 -3-100=-103 -4-75=-79 -5-60=-65 -6-50=-56 -10-30=-40 -12-25=-37 -15-20=-35$$

Soluția este perechea care dă suma de -35.

$$a=-20 b=-15$$

Rescrieți 6a^{2}-35a+50 ca \left(6a^{2}-20a\right)+\left(-15a+50\right).

$$\left(6a^{2}-20a\right)+\left(-15a+50\right)$$

Factor 2a în primul și -5 în al doilea grup.

$$2a\left(3a-10\right)-5\left(3a-10\right)$$

Scoateți termenul comun 3a-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3a-10\right)\left(2a-5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3a-10=0 și 2a-5=0.

$$a=\frac{10}{3} a=\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6a^{2}-35a+50=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -35 și c cu 50 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{\left(-35\right)^{2}-4\times 6\times 50}}{2\times 6}$$

Ridicați -35 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-4\times 6\times 50}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-24\times 50}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 50.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{1225-1200}}{2\times 6}$$

Adunați 1225 cu -1200.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±\sqrt{25}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25.

$$a=\frac{-\left(-35\right)±5}{2\times 6}$$

Opusul lui -35 este 35.

$$a=\frac{35±5}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$a=\frac{35±5}{12}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{35±5}{12} atunci când ± este plus. Adunați 35 cu 5.

$$a=\frac{40}{12}$$

Reduceți fracția \frac{40}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$a=\frac{10}{3}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{35±5}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 5 din 35.

$$a=\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$a=\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=\frac{10}{3} a=\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6a^{2}-35a+50=0$$

Scădeți 50 din ambele părți ale ecuației.

$$6a^{2}-35a+50-50=-50$$

Scăderea 50 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6a^{2}-35a=-50$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6a^{2}-35a}{6}=-\frac{50}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a=-\frac{50}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-50}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a=-\frac{25}{3}$$

Împărțiți -\frac{35}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{35}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{35}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a+\left(-\frac{35}{12}\right)^{2}=-\frac{25}{3}+\left(-\frac{35}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{35}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a+\frac{1225}{144}=-\frac{25}{3}+\frac{1225}{144}$$

Adunați -\frac{25}{3} cu \frac{1225}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$a^{2}-\frac{35}{6}a+\frac{1225}{144}=\frac{25}{144}$$

Factor a^{2}-\frac{35}{6}a+\frac{1225}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{35}{12}\right)^{2}=\frac{25}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{35}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{144}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{35}{12}=\frac{5}{12} a-\frac{35}{12}=-\frac{5}{12}$$

Adunați \frac{35}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$a=\frac{10}{3} a=\frac{5}{2}$$