Rezolvați 6x^2-8x=128

$$6 { x }^{ 2 } -8x=128$$

Rezolvați pentru x

$$x=-4$$

$$x = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 128 din ambele părți.

$$6x^{2}-8x-128=0$$

Se împart ambele părți la 2.

$$3x^{2}-4x-64=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx-64. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-4 ab=3\left(-64\right)=-192$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -192.

$$1,-192 2,-96 3,-64 4,-48 6,-32 8,-24 12,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-192=-191 2-96=-94 3-64=-61 4-48=-44 6-32=-26 8-24=-16 12-16=-4$$

Soluția este perechea care dă suma de -4.

$$a=-16 b=12$$

Rescrieți 3x^{2}-4x-64 ca \left(3x^{2}-16x\right)+\left(12x-64\right).

$$\left(3x^{2}-16x\right)+\left(12x-64\right)$$

Factor x în primul și 4 în al doilea grup.

$$x\left(3x-16\right)+4\left(3x-16\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-16 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-16\right)\left(x+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-16=0 și x+4=0.

$$x=\frac{16}{3} x=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-8x=128$$

Scădeți 128 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-8x-128=128-128$$

Scăderea 128 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-8x-128=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -8 și c cu -128 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 6\left(-128\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 6\left(-128\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-24\left(-128\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -128.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+3072}}{2\times 6}$$

Adunați 64 cu 3072.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{3136}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3136.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±56}{2\times 6}$$

Opusul lui -8 este 8.

$$x=\frac{8±56}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{8±56}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±56}{12} atunci când ± este plus. Adunați 8 cu 56.

$$x=\frac{64}{12}$$

Reduceți fracția \frac{64}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{16}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{8±56}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 56 din 8.

$$x=-\frac{48}{12}$$

Împărțiți -48 la 12.

$$x=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{16}{3} x=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-8x=128$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-8x}{6}=\frac{128}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{6}\right)x=\frac{128}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-8}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{128}{6}$$

Reduceți fracția \frac{128}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x=\frac{64}{3}$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{64}{3}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{64}{3}+\frac{4}{9}$$

Adunați \frac{64}{3} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}=\frac{196}{9}$$

Factor x^{2}-\frac{4}{3}x+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{196}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{196}{9}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{2}{3}=\frac{14}{3} x-\frac{2}{3}=-\frac{14}{3}$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{16}{3} x=-4$$