Rezolvați 6x^2-32x+10

$$6 { x }^{ 2 } -32x+10$$

Descompunere în factori

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 2.

$$2\left(3x^{2}-16x+5\right)$$

Să luăm 3x^{2}-16x+5. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=-16 ab=3\times 5=15$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt ambele negative. Enumerați toate perechile întregi care oferă 15 de produs.

$$-1,-15 -3,-5$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-15=-16 -3-5=-8$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-15 b=-1$$

Rescrieți 3x^{2}-16x+5 ca \left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(3x^{2}-15x\right)+\left(-x+5\right)$$

Scoateți scoateți factorul 3x din primul și -1 din cel de-al doilea grup.

$$3x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-32x+10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Ridicați -32 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-24\times 10}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-240}}{2\times 6}$$

Adunați 1024 cu -240.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{784}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 784.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±28}{2\times 6}$$

Opusul lui -32 este 32.

$$x=\frac{32±28}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{32±28}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{32±28}{12} atunci când ± este plus. Adunați 32 cu 28.

$$x=\frac{60}{12}$$

Împărțiți 60 la 12.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{32±28}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 28 din 32.

$$x=\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{1}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu 5 și x_{2} cu \frac{1}{3}.

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)$$

Scădeți \frac{1}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-32x+10=6\left(x-5\right)\times \frac{3x-1}{3}$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 6 și 3.

$$6x^{2}-32x+10=2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$

Evaluați

$$2\left(x-5\right)\left(3x-1\right)$$