Rezolvați 6x^2-19x+10

$$6 { x }^{ 2 } -19x+10$$

Descompunere în factori

$$\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx+10. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-19 ab=6\times 10=60$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 60.

$$-1,-60 -2,-30 -3,-20 -4,-15 -5,-12 -6,-10$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-60=-61 -2-30=-32 -3-20=-23 -4-15=-19 -5-12=-17 -6-10=-16$$

Soluția este perechea care dă suma de -19.

$$a=-15 b=-4$$

Rescrieți 6x^{2}-19x+10 ca \left(6x^{2}-15x\right)+\left(-4x+10\right).

$$\left(6x^{2}-15x\right)+\left(-4x+10\right)$$

Factor 3x în primul și -2 în al doilea grup.

$$3x\left(2x-5\right)-2\left(2x-5\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-19x+10=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Ridicați -19 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 6\times 10}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-24\times 10}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 10.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-240}}{2\times 6}$$

Adunați 361 cu -240.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{121}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±11}{2\times 6}$$

Opusul lui -19 este 19.

$$x=\frac{19±11}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{19±11}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±11}{12} atunci când ± este plus. Adunați 19 cu 11.

$$x=\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{5}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±11}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 19.

$$x=\frac{8}{12}$$

Reduceți fracția \frac{8}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{5}{2} și x_{2} cu \frac{2}{3}.

$$6x^{2}-19x+10=6\left(x-\frac{5}{2}\right)\left(x-\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{5}{2} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{2x-5}{2}\left(x-\frac{2}{3}\right)$$

Scădeți \frac{2}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{2x-5}{2}\times \frac{3x-2}{3}$$

Înmulțiți \frac{2x-5}{2} cu \frac{3x-2}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$6x^{2}-19x+10=6\times \frac{\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)}{6}$$

Simplificați cu 6, cel mai mare factor comun din 6 și 6.

$$6x^{2}-19x+10=\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$

Evaluați

$$\left(2x-5\right)\left(3x-2\right)$$