Rezolvați 6x^2+7x-5=0

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, descompuneți în factori partea stângă prin grupare. În primul rând, partea stângă trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem care să fie rezolvat.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât negativul. Enumerați toate perechile întregi care oferă -30 de produs.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-3 b=10$$

Rescrieți 6x^{2}+7x-5 ca \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Scoateți scoateți factorul 3x din primul și 5 din cel de-al doilea grup.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuație, rezolvați 2x-1=0 și 3x+5=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 7 și c cu -5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Adunați 49 cu 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±13}{12} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Reduceți fracția \frac{6}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±13}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}+7x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}+7x=-\left(-5\right)$$

Scădeți -5 din 0.

$$6x^{2}+7x=5$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+7x}{6}=\frac{5}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x=\frac{5}{6}$$

Împărțiți \frac{7}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{7}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{7}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{5}{6}+\left(\frac{7}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{7}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{5}{6}+\frac{49}{144}$$

Adunați \frac{5}{6} cu \frac{49}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}=\frac{169}{144}$$

Factorul x^{2}+\frac{7}{6}x+\frac{49}{144}. În general, când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, acesta poate fi descompus întotdeauna în factori ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{7}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{7}{12}=-\frac{13}{12}$$

Scădeți \frac{7}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{5}{3}$$