Rezolvați 6x^2+7x-5

$$6 { x }^{ 2 } +7x-5$$

Descompunere în factori

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=6\left(-5\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=-3 b=10$$

Rescrieți 6x^{2}+7x-5 ca \left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right).

$$\left(6x^{2}-3x\right)+\left(10x-5\right)$$

Factor 3x în primul și 5 în al doilea grup.

$$3x\left(2x-1\right)+5\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}+7x-5=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 6\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-24\left(-5\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 6}$$

Adunați 49 cu 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-7±13}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±13}{12} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 13.

$$x=\frac{6}{12}$$

Reduceți fracția \frac{6}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±13}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -7.

$$x=-\frac{20}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-20}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{1}{2} și x_{2} cu -\frac{5}{3}.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$6x^{2}+7x-5=6\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Scădeți \frac{1}{2} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Adunați \frac{5}{3} cu x găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{2x-1}{2}\times \frac{3x+5}{3}$$

Înmulțiți \frac{2x-1}{2} cu \frac{3x+5}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$6x^{2}+7x-5=6\times \frac{\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)}{6}$$

Simplificați cu 6, cel mai mare factor comun din 6 și 6.

$$6x^{2}+7x-5=\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$

Evaluați

$$\left(2x-1\right)\left(3x+5\right)$$