Rezolvați 6x^2+11x+3=0

$$6 { x }^{ 2 } +11x+3=0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx+3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=11 ab=6\times 3=18$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 18.

$$1,18 2,9 3,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+18=19 2+9=11 3+6=9$$

Soluția este perechea care dă suma de 11.

$$a=2 b=9$$

Rescrieți 6x^{2}+11x+3 ca \left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right).

$$\left(6x^{2}+2x\right)+\left(9x+3\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Scoateți termenul comun 3x+1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x+1\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x+1=0 și 2x+3=0.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 11 și c cu 3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Ridicați 11 la pătrat.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 6\times 3}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-24\times 3}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 3.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-72}}{2\times 6}$$

Adunați 121 cu -72.

$$x=\frac{-11±\sqrt{49}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-11±7}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-11±7}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±7}{12} atunci când ± este plus. Adunați -11 cu 7.

$$x=-\frac{4}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-4}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-11±7}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din -11.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+11x+3=0$$

Scădeți 3 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}+11x+3-3=-3$$

Scăderea 3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}+11x=-3$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+11x}{6}=-\frac{3}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{3}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-3}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x=-\frac{1}{2}$$

Împărțiți \frac{11}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{11}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{11}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{11}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=-\frac{1}{2}+\frac{121}{144}$$

Adunați -\frac{1}{2} cu \frac{121}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}=\frac{49}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{11}{6}x+\frac{121}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}=\frac{49}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{11}{12}=\frac{7}{12} x+\frac{11}{12}=-\frac{7}{12}$$

Scădeți \frac{11}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{2}$$