Rezolvați 6^2+(13-x)^2=(2x)^2

$$6 ^ { 2 } + ( 13 - x ) ^ { 2 } = ( 2 x ) ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{41}{3} = -13\frac{2}{3} \approx -13,666666667$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Calculați 6 la puterea 2 și obțineți 36.

$$36+\left(13-x\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(13-x\right)^{2}.

$$36+169-26x+x^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Adunați 36 și 169 pentru a obține 205.

$$205-26x+x^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$205-26x+x^{2}=2^{2}x^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$205-26x+x^{2}=4x^{2}$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$205-26x+x^{2}-4x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$205-26x-3x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-3x^{2}-26x+205=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -3x^{2}+ax+bx+205. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-26 ab=-3\times 205=-615$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -615.

$$1,-615 3,-205 5,-123 15,-41$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-615=-614 3-205=-202 5-123=-118 15-41=-26$$

Soluția este perechea care dă suma de -26.

$$a=15 b=-41$$

Rescrieți -3x^{2}-26x+205 ca \left(-3x^{2}+15x\right)+\left(-41x+205\right).

$$\left(-3x^{2}+15x\right)+\left(-41x+205\right)$$

Factor 3x în primul și 41 în al doilea grup.

$$3x\left(-x+5\right)+41\left(-x+5\right)$$

Scoateți termenul comun -x+5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(-x+5\right)\left(3x+41\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați -x+5=0 și 3x+41=0.

$$x=5 x=-\frac{41}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați 6 la puterea 2 și obțineți 36.

$$36+\left(13-x\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(13-x\right)^{2}.

$$36+169-26x+x^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Adunați 36 și 169 pentru a obține 205.

$$205-26x+x^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$205-26x+x^{2}=2^{2}x^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$205-26x+x^{2}=4x^{2}$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$205-26x+x^{2}-4x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$205-26x-3x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-3x^{2}-26x+205=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -3, b cu -26 și c cu 205 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{\left(-26\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 205}}{2\left(-3\right)}$$

Ridicați -26 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676-4\left(-3\right)\times 205}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -3.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676+12\times 205}}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 12 cu 205.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{676+2460}}{2\left(-3\right)}$$

Adunați 676 cu 2460.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±\sqrt{3136}}{2\left(-3\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 3136.

$$x=\frac{-\left(-26\right)±56}{2\left(-3\right)}$$

Opusul lui -26 este 26.

$$x=\frac{26±56}{2\left(-3\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -3.

$$x=\frac{26±56}{-6}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{26±56}{-6} atunci când ± este plus. Adunați 26 cu 56.

$$x=\frac{82}{-6}$$

Reduceți fracția \frac{82}{-6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{41}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{26±56}{-6} atunci când ± este minus. Scădeți 56 din 26.

$$x=-\frac{30}{-6}$$

Împărțiți -30 la -6.

$$x=5$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-\frac{41}{3} x=5$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați 6 la puterea 2 și obțineți 36.

$$36+\left(13-x\right)^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} pentru a extinde \left(13-x\right)^{2}.

$$36+169-26x+x^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Adunați 36 și 169 pentru a obține 205.

$$205-26x+x^{2}=\left(2x\right)^{2}$$

Extindeți \left(2x\right)^{2}.

$$205-26x+x^{2}=2^{2}x^{2}$$

Calculați 2 la puterea 2 și obțineți 4.

$$205-26x+x^{2}=4x^{2}$$

Scădeți 4x^{2} din ambele părți.

$$205-26x+x^{2}-4x^{2}=0$$

Combinați x^{2} cu -4x^{2} pentru a obține -3x^{2}.

$$205-26x-3x^{2}=0$$

Scădeți 205 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$-26x-3x^{2}=-205$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-3x^{2}-26x=-205$$

Se împart ambele părți la -3.

$$\frac{-3x^{2}-26x}{-3}=-\frac{205}{-3}$$

Împărțirea la -3 anulează înmulțirea cu -3.

$$x^{2}+\left(-\frac{26}{-3}\right)x=-\frac{205}{-3}$$

Împărțiți -26 la -3.

$$x^{2}+\frac{26}{3}x=-\frac{205}{-3}$$

Împărțiți -205 la -3.

$$x^{2}+\frac{26}{3}x=\frac{205}{3}$$

Împărțiți \frac{26}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{3}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{26}{3}x+\left(\frac{13}{3}\right)^{2}=\frac{205}{3}+\left(\frac{13}{3}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{26}{3}x+\frac{169}{9}=\frac{205}{3}+\frac{169}{9}$$

Adunați \frac{205}{3} cu \frac{169}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{26}{3}x+\frac{169}{9}=\frac{784}{9}$$

Factor x^{2}+\frac{26}{3}x+\frac{169}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{3}\right)^{2}=\frac{784}{9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{784}{9}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{13}{3}=\frac{28}{3} x+\frac{13}{3}=-\frac{28}{3}$$

Scădeți \frac{13}{3} din ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=-\frac{41}{3}$$