Rezolvați 6^circ(1+x)^2=726

$$6 ^ { \circ } ( 1 + x ) ^ { 2 } = 726$$

Rezolvați pentru x

$$x=10$$

$$x=-12$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Se împart ambele părți la 6.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{726}{6}$$

Împărțiți 726 la 6 pentru a obține 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Scădeți 121 din ambele părți.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Scădeți 121 din 1 pentru a obține -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+2x-120=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+2x-120 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=-120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-10 b=12$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-10\right)\left(x+12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și x+12=0.

$$x=10 x=-12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 6.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{726}{6}$$

Împărțiți 726 la 6 pentru a obține 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Scădeți 121 din ambele părți.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Scădeți 121 din 1 pentru a obține -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$x^{2}+2x-120=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-120. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=1\left(-120\right)=-120$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-10 b=12$$

Rescrieți x^{2}+2x-120 ca \left(x^{2}-10x\right)+\left(12x-120\right).

$$\left(x^{2}-10x\right)+\left(12x-120\right)$$

Factor x în primul și 12 în al doilea grup.

$$x\left(x-10\right)+12\left(x-10\right)$$

Scoateți termenul comun x-10 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-10\right)\left(x+12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-10=0 și x+12=0.

$$x=10 x=-12$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Se împart ambele părți la 6.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{726}{6}$$

Împărțiți 726 la 6 pentru a obține 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Scădeți 121 din ambele părți.

$$1+2x+x^{2}-121=0$$

Scădeți 121 din 1 pentru a obține -120.

$$-120+2x+x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+2x-120=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 2 și c cu -120 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-120\right)}}{2}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-120\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -120.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+480}}{2}$$

Adunați 4 cu 480.

$$x=\frac{-2±\sqrt{484}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 484.

$$x=\frac{-2±22}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±22}{2} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 22.

$$x=\frac{20}{2}$$

Împărțiți 20 la 2.

$$x=10$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±22}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 22 din -2.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x=-12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=10 x=-12$$

Pași pentru completarea pătratului

Se împart ambele părți la 6.

$$\left(1+x\right)^{2}=\frac{726}{6}$$

Împărțiți 726 la 6 pentru a obține 121.

$$\left(1+x\right)^{2}=121$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$1+2x+x^{2}=121$$

Scădeți 1 din ambele părți.

$$2x+x^{2}=121-1$$

Scădeți 1 din 121 pentru a obține 120.

$$2x+x^{2}=120$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x=120$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=120+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=120+1$$

Adunați 120 cu 1.

$$x^{2}+2x+1=121$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=121$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{121}$$

Simplificați.

$$x+1=11 x+1=-11$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=10 x=-12$$