Rezolvați 5975x^2+450125x-706653125=0

$$5975 x ^ { 2 } + 450125 x - 706653125 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{5 \sqrt{1093863821} - 18005}{478} \approx 308,290922127$$

$$x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}\approx -383,62565016$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5975x^{2}+450125x-706653125=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5975, b cu 450125 și c cu -706653125 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{450125^{2}-4\times 5975\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

Ridicați 450125 la pătrat.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625-4\times 5975\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

Înmulțiți -4 cu 5975.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625-23900\left(-706653125\right)}}{2\times 5975}$$

Înmulțiți -23900 cu -706653125.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{202612515625+16889009687500}}{2\times 5975}$$

Adunați 202612515625 cu 16889009687500.

$$x=\frac{-450125±\sqrt{17091622203125}}{2\times 5975}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 17091622203125.

$$x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{2\times 5975}$$

Înmulțiți 2 cu 5975.

$$x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950} atunci când ± este plus. Adunați -450125 cu 125\sqrt{1093863821}.

$$x=\frac{125\sqrt{1093863821}-450125}{11950}$$

Împărțiți -450125+125\sqrt{1093863821} la 11950.

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-450125±125\sqrt{1093863821}}{11950} atunci când ± este minus. Scădeți 125\sqrt{1093863821} din -450125.

$$x=\frac{-125\sqrt{1093863821}-450125}{11950}$$

Împărțiți -450125-125\sqrt{1093863821} la 11950.

$$x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478} x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5975x^{2}+450125x-706653125=0$$

Adunați 706653125 la ambele părți ale ecuației.

$$5975x^{2}+450125x-706653125-\left(-706653125\right)=-\left(-706653125\right)$$

Scăderea -706653125 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5975x^{2}+450125x=-\left(-706653125\right)$$

Scădeți -706653125 din 0.

$$5975x^{2}+450125x=706653125$$

Se împart ambele părți la 5975.

$$\frac{5975x^{2}+450125x}{5975}=\frac{706653125}{5975}$$

Împărțirea la 5975 anulează înmulțirea cu 5975.

$$x^{2}+\frac{450125}{5975}x=\frac{706653125}{5975}$$

Reduceți fracția \frac{450125}{5975} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 25.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x=\frac{706653125}{5975}$$

Reduceți fracția \frac{706653125}{5975} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 25.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x=\frac{28266125}{239}$$

Împărțiți \frac{18005}{239}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{18005}{478}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{18005}{478} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\left(\frac{18005}{478}\right)^{2}=\frac{28266125}{239}+\left(\frac{18005}{478}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{18005}{478} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}=\frac{28266125}{239}+\frac{324180025}{228484}$$

Adunați \frac{28266125}{239} cu \frac{324180025}{228484} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}=\frac{27346595525}{228484}$$

Factor x^{2}+\frac{18005}{239}x+\frac{324180025}{228484}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{18005}{478}\right)^{2}=\frac{27346595525}{228484}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{18005}{478}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{27346595525}{228484}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{18005}{478}=\frac{5\sqrt{1093863821}}{478} x+\frac{18005}{478}=-\frac{5\sqrt{1093863821}}{478}$$

Scădeți \frac{18005}{478} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5\sqrt{1093863821}-18005}{478} x=\frac{-5\sqrt{1093863821}-18005}{478}$$