Rezolvați 56x^2-12x+1=0

$$56 { x }^{ 2 } -12x+1=0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}\approx 0,107142857+0,079859571i$$

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}\approx 0,107142857-0,079859571i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 56, b cu -12 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 56}}{2\times 56}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 56}}{2\times 56}$$

Înmulțiți -4 cu 56.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 56}$$

Adunați 144 cu -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 56}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 56}$$

Înmulțiți 2 cu 56.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{112}$$

Împărțiți 12+4i\sqrt{5} la 112.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{112} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{5} din 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{112}$$

Împărțiți 12-4i\sqrt{5} la 112.

$$x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$56x^{2}-12x+1=0$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$56x^{2}-12x+1-1=-1$$

Scăderea 1 din el însuși are ca rezultat 0.

$$56x^{2}-12x=-1$$

Se împart ambele părți la 56.

$$\frac{56x^{2}-12x}{56}=-\frac{1}{56}$$

Împărțirea la 56 anulează înmulțirea cu 56.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{56}\right)x=-\frac{1}{56}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{56} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x=-\frac{1}{56}$$

Împărțiți -\frac{3}{14}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{28}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{28} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{1}{56}+\left(-\frac{3}{28}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{28} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{1}{56}+\frac{9}{784}$$

Adunați -\frac{1}{56} cu \frac{9}{784} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=-\frac{5}{784}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}=-\frac{5}{784}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{5}{784}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{28}=\frac{\sqrt{5}i}{28} x-\frac{3}{28}=-\frac{\sqrt{5}i}{28}$$

Adunați \frac{3}{28} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3+\sqrt{5}i}{28} x=\frac{-\sqrt{5}i+3}{28}$$