Rezolvați 54(1+x)(1+x)=1215

$$54(1+x)(1+x)=1215$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx 3,74341649$$

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1\approx -5,74341649$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Înmulțiți 1+x cu 1+x pentru a obține \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 54 cu 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Scădeți 1215 din ambele părți.

$$54+108x+54x^{2}-1215=0$$

Scădeți 1215 din 54 pentru a obține -1161.

$$-1161+108x+54x^{2}=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$54x^{2}+108x-1161=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 54, b cu 108 și c cu -1161 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-108±\sqrt{108^{2}-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Ridicați 108 la pătrat.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-4\times 54\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Înmulțiți -4 cu 54.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664-216\left(-1161\right)}}{2\times 54}$$

Înmulțiți -216 cu -1161.

$$x=\frac{-108±\sqrt{11664+250776}}{2\times 54}$$

Adunați 11664 cu 250776.

$$x=\frac{-108±\sqrt{262440}}{2\times 54}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 262440.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{2\times 54}$$

Înmulțiți 2 cu 54.

$$x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} atunci când ± este plus. Adunați -108 cu 162\sqrt{10}.

$$x=\frac{162\sqrt{10}-108}{108}$$

Împărțiți -108+162\sqrt{10} la 108.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-108±162\sqrt{10}}{108} atunci când ± este minus. Scădeți 162\sqrt{10} din -108.

$$x=\frac{-162\sqrt{10}-108}{108}$$

Împărțiți -108-162\sqrt{10} la 108.

$$x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$

Pași pentru completarea pătratului

Înmulțiți 1+x cu 1+x pentru a obține \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+x\right)^{2}=1215$$

Utilizați binomul lui Newton \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} pentru a extinde \left(1+x\right)^{2}.

$$54\left(1+2x+x^{2}\right)=1215$$

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 54 cu 1+2x+x^{2}.

$$54+108x+54x^{2}=1215$$

Scădeți 54 din ambele părți.

$$108x+54x^{2}=1215-54$$

Scădeți 54 din 1215 pentru a obține 1161.

$$108x+54x^{2}=1161$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$54x^{2}+108x=1161$$

Se împart ambele părți la 54.

$$\frac{54x^{2}+108x}{54}=\frac{1161}{54}$$

Împărțirea la 54 anulează înmulțirea cu 54.

$$x^{2}+\frac{108}{54}x=\frac{1161}{54}$$

Împărțiți 108 la 54.

$$x^{2}+2x=\frac{1161}{54}$$

Reduceți fracția \frac{1161}{54} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 27.

$$x^{2}+2x=\frac{43}{2}$$

Împărțiți 2, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 1. Apoi, adunați pătratul lui 1 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{43}{2}+1^{2}$$

Ridicați 1 la pătrat.

$$x^{2}+2x+1=\frac{43}{2}+1$$

Adunați \frac{43}{2} cu 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{45}{2}$$

Factor x^{2}+2x+1. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{45}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{45}{2}}$$

Simplificați.

$$x+1=\frac{3\sqrt{10}}{2} x+1=-\frac{3\sqrt{10}}{2}$$

Scădeți 1 din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{10}}{2}-1 x=-\frac{3\sqrt{10}}{2}-1$$